1972年(昭和47年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[3] $k$ を実数の定数， $f(x)=x^2(x+8)$ ， $g(x)=(x^2-1)(x+4)$ とするとき， $x$ に関する方程式 $f(x)-kg(x)=0$ の相異なる実根の個数を求めよ．

2021.10.09記

一見， $F(x)=f(x)-kg(x)$ とおき， $F(-8)=-756k$ ， $F(-4)=64$ ， $F(-1)=7$ ， $F(0)=4k$ ， $F(1)=9$ として中間値の定理から何とかできそうな気がするが， $y=f(x)$ と $y=kg(x)$ が接する条件を考えたりすると面倒になる．
素直に定数分離が良いだろう．

[解答]

$g(x)=0$ なる $x=-4,-1,1$ において、 $f(x)-kg(x)\neq 0$ であるから， $f(x)-kg(x)=0$ と $k=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ は同値である．

よって， $y=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ のグラフと $y=k$ （定数関数）のグラフの交点の個数を数えれば良い．
$\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$ $=\dfrac{-2x(x+2)\left\{2\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{119}{8}\right\}}{(x+4)^2(x+1)^2(x-1)^2}$
より増減表は

$x$	$-\infty$	…	$-4$	…	$-2$	…	$-1$	…	$0$	…	$1$	…	$\infty$
$\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'$	(0)	$-$		$-$	$0$	$+$		$+$	$0$	$-$		$-$	(0)
$\dfrac{f(x)}{g(x)}$	(1)	$\searrow$	$-\infty /+\infty$	$\searrow$	$4$	$\nearrow$	$+\infty /-\infty$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$-\infty /+\infty$	$\searrow$	(1)