1975年(昭和50年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.11記

[1] 三角形 $\mbox{ABC}$ において， $\mbox{BC}=32$ ， $\mbox{CA}=36$ ， $\mbox{AB}=25$ とする．この三角形の二辺の上に両端をもつ線分 $\mbox{PQ}$ によって，この三角形の面積を二等分する．そのような $\mbox{PQ}$ の長さが最短になる場合の， $\mbox{P}$ と $\mbox{Q}$ の位置を求めよ．

2023.08.11記

[解答]
まず一般の三角形について考える．
$\mbox{XY}=z$ ， $\mbox{YZ}=x$ ， $\mbox{ZX}=y$ の三角形に対して
$\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ を $\mbox{XY}$ ， $\mbox{XZ}$ 上にとり，
$\mbox{XP}=p$ ， $\mbox{XQ}=q$ とおくと，線分 $\mbox{PQ}$ が $\triangle\mbox{XYZ}$ の面積を二等分するので $pq=\dfrac{yz}{2}$ であり，余弦定理により
$\mbox{PQ}^2=p^2+q^2-2pq\cos X$ $=(p-q)^2+yz(1-\cos X)=\dfrac{x^2-(y-z)^2}{2}$ $=(p-q)^2+\dfrac{(x+y+z-2y)(x+y+z-2z)}{2}$
であるから， $\mbox{PQ}$ は $p=q=\sqrt{\dfrac{bc}{2}}$ のときに最小となる．ここで最小値
$\dfrac{(x+y+z-2y)(x+y+z-2z)}{2}$
を最小にするには， $y$ ， $z$ を大きくすれば良いので， $x$ が $\triangle\mbox{ABC}$ の最小辺 $\mbox{AB}$ となるようにすれば良い．

つまり， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ が $\mbox{CA}$ ， $\mbox{CB}$ 上にあり， $\mbox{CA}=\mbox{CB}=\sqrt{\dfrac{32\cdot36}{2}}=24$ のときに $\mbox{PQ}$ の長さが最短になる．

$\triangle\mbox{XYZ}=\dfrac{yz}{2}\sin X$ であるから，
$\mbox{PQ}^2=(p-q)^2+yz(1-\cos X)$ $=(p-q)^2+2\triangle\mbox{XYZ}\cdot\dfrac{1-\cos X}{\sin X}$ $=(p-q)^2+2\triangle\mbox{XYZ}\cdot\tan\dfrac{X}{2}$
と変形でき，よって $X$ が $\triangle\mbox{ABC}$ の最小角，つまり最小辺 $\mbox{AB}$ の対角 $C$ となるようにすれば良いことがわかる．

なお，このような線分 $\mbox{PQ}$ の包絡線は双曲線となり，線分 $\mbox{PQ}$ と包絡線は $\mbox{PQ}$ の中点で接することは有名である．