1975年(昭和50年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.11記

[2] $k$ ， $l$ ， $m$ ， $n$ は負でない整数とする． $0$ でないすべての $x$ に対して等式 $\dfrac{(x+1)^k}{x^l}-1=\dfrac{(x+1)^m}{x^n}$ を成り立たせるような $k$ ， $l$ ， $m$ ， $n$ の組を求めよ．

2023.08.11記

[解答]
$x=1$ を代入すると $2^k-1=2^m$ であり，左辺は0か奇数，右辺は1か正の偶数であるから，両辺の値は1でなければならない．よって $k=1$ ， $m=0$ である．

このとき等式は $\dfrac{x+1}{x^l}-1=\dfrac{1}{x^n}$ となるが， $x=2$ を代入すると
$\dfrac{3}{2^l}-1=\dfrac{1}{2^n}$ ，つまり
$(3-2^{l})\cdot 2^{n-l}＝1$
となる．よって $3-2^l\gt 0$ だから， $l=0$ ， $1$ となり， $(l,n)=(0,-1)$ ， $(1,1)$ となるが条件をみたすのは $(l,n)=(1,0)$ のみである．以上から $k=1，l=1，m=0，n=1$ が必要であり，このとき等式は
$\dfrac{x+1}{x}-1=\dfrac{1}{x}$ となり，確かに $0$ でないすべての $x$ に対して成立する．

$\dfrac{3}{2^l}-1=\dfrac{1}{2^n}$ で右辺は0以上1以下だから $\dfrac{3}{2^l}$ は 1以上2以下でなければならず， $l=1$ である，とする方が早い．

また， $x=1$ を代入した後に $x=\dfrac{1}{2}$ を代入すると
$3\cdot 2^{l-1} -1 = 2^n$
となるが，これより
$2^{l+1} = 2^n+2^{l-1}+1$
となる．2進数で考えると，左辺は1が1つだけだから，右辺は $1+1+2=4$ でなければ1が1つにならないので， $2^{l+1}=2^n+2^{l-1}+1＝4$ となり， $l=1，n=1$ である，としても良い．