1976年(昭和51年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.12記

[3] $0\lt t\lt 1$ であるような $t$ のおのおのの値に対して， $x$ の関数 $f(x)=\dfrac{x+t}{x(1-tx)}$ を考える．

(i) 区間 $0\lt x\lt 1$ において $f(x)$ の最小値を与える $x$ の値 $\alpha$ は $t$ に関係して定まる数である． $t$ が $0$ から $1$ に向って動くとき，点 $(\alpha,f(\alpha))$ はどのように動くかを図示せよ．

(ii) $0\lt x\leqq t$ において $f(x)$ の最小値を与える $x$ の値を $\beta$ とする． $t$ が $0$ から $1$ に向かって動くとき，点 $(\beta,f(\beta))$ はどのように動くかを図示せよ．

2023.08.16記

[解答]
(i) $f'(x)=\dfrac{t(x^2+2tx-1)}{x^2(1-tx)^2}$ であるから，増減表（略）により
$x=\alpha=\sqrt{t^2+1}-t=\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}+1}$
で最小となる．最小値は俗に言う安田の公式から
$\dfrac{1}{1-2t\alpha}=\dfrac{1}{\alpha^2}$ （∵ $f'(\alpha)=0$ から $\alpha^2+2t\alpha-1=0$ ）
となる． $0\lt t\lt 1$ で $\sqrt{2}-1\lt \alpha \lt 1$ となるので

$f(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha^2}$ （ $\sqrt{2}-1\lt \alpha \lt 1$ ）

を動くので，次図のようになる．

(ii) (a) $\alpha\leqq t$ ，つまり $t\geqq\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ のとき $\beta=\alpha$ だから
$f(\beta)=\dfrac{1}{\beta^2}$ （ $\sqrt{2}-1\lt \beta \lt \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ ）
を動く．

(b) $\alpha\gt t$ ，つまり $t\lt\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ のとき $\beta=t$ だから
$f(\beta)=\dfrac{2}{1-\beta^2}$ （ $0\lt \beta \lt \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ ）
を動く．

(a)(b)より次図．