1976年(昭和51年)東京大学-数学(理科)[4]新課程 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.12記

[4]（新課程）点 $\mbox{P}(x,y)$ は $xy$ 平面上の円 $C:(x-5)^2+(y-5)^2=r^2$ （ $r>0$ ）の上を動く動点である．このとき点 $\mbox{P}$ の点 $\mbox{A}(9,0)$ に関する対称点を $\mbox{Q}$ とし，また点 $\mbox{P}$ を原点 $\mbox{O}$ のまわりに正の向きに $\dfrac{\pi}{2}$ だけ回転した点を $\mbox{R}$ とする．点 $\mbox{P}$ が円 $C$ の上を動くときの線分 $\mbox{QR}$ の長さの最小値 $f(r)$ と最大値 $g(r)$ とを求めよ．また $f(r)$ が $0$ となるような $r$ の値を求めよ．

2023.08.16記

[解答]
$\mbox{P}(x,y)$ とおくと $\mbox{Q}(18-x,-y)$ ， $\mbox{R}(-y,x)$ だから
$\mbox{QR}^2=(18-x+y)^2+(x+y)^2$ $=324-36(x-y)+2(x^2+y^2)$
となる．ここで $x=5+r\cos\theta$ ， $y=5 + r\sin\theta$ （ $0\leqq \theta\lt 2\pi$ ）を代入すると
$\mbox{QR}^2$ $=324-36r(\cos\theta-\sin\theta)+2\{50+r^2+10r(\cos\theta+\sin\theta)\}$
$=424-8(2\cos\theta-7\sin\theta)r+2r^2$
であり， $0\leqq \theta\lt 2\pi$ で
$-\sqrt{53}\leqq 2\cos\theta-7\sin\theta\leqq \sqrt{53}$
であるから
$424-8\sqrt{53}r+2r^2\leqq \mbox{QR}^2 \leqq 424+8\sqrt{53}r+2r^2$
つまり
$\sqrt{2}|r-2\sqrt{53}|\leqq \mbox{QR} \leqq \sqrt{2}|r+2\sqrt{53}|$
となる．

よって， $f(r)=\sqrt{2}|r-2\sqrt{53}|$ ， $g(r)=\sqrt{2}|r+2\sqrt{53}|$ となり，また $f(r)$ が $0$ となるような $r$ の値は $2\sqrt{53}$ となる．