2022年(令和4年)東京工業大学-数学[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.03記

[1] $a,b$ を実数とし， $f(z)=z^2+ax+b$ とする． $a,b$ が $|a|\leqq1$ ， $|b|\leqq1$ を満たしながら動くとき， $f(z)=0$ を満たす複素数 $z$ がとりうる値の範囲を複素数平面上に図示せよ．

2022.03.03記
シンプルに行こう。

[解答]

$|a|\leqq1$ なる実数 $a$ に対して
$-1\leqq z(z+a)\leqq 1$ なる $z$ の存在範囲を求めれば良い．

ここで $a$ は実数により $\mbox{Im}(z)=\mbox{Im}(z+a)$ であるから， $z(z+a)$ が実数となるための必要十分条件は
「(i) $z\in\mathbb{R}$ 」または「(ii) $\bar{z}=-z-a$ 」である．

(i) のとき実数 $z(z+a)$ の値域は $-|z|\leqq az\leqq |z|$ に注意すると
$|z|^2-|z|\leqq z^2+az\leqq |z|^2+|z|$
となるので，区間 $[-1,1]$ と $[|z|^2-|z|,|z|^2+|z|]$ が共通部分をもてば良く，それは区間 $[ 0,2]$ と
$[|z|^2-|z|+1,|z|^2+|z|+1]$ が共通部分をもつことで，
$|z|^2-|z|+1=\left(|z|-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\gt 0$ に注意すると
$|z|^2-|z|+1\leqq 2$
である．よって $|z|\leqq\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ が必要十分．