1977年(昭和52年)東京大学-数学(理科)[5]新課程 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[5]（新課程） $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I$ ， $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=J$ と書く．行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ と実数 $t$ に対し
$A(I-tJ)=I+tJ$ という関係が成り立つとき， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を $t$ の式で表せ．

また $t$ が実数全体を動くとき，関係 $\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}$ で定まる点 $(x,y)$ が動いてできる図形を求め，これを図示せよ．

本問のテーマ

複素数の行列表現

2020.11.27記

[大人の解答]
$aI+bJ\mapsto a+bi$ という対応から，

$(I+tJ)(I-tJ)^{-1}\mapsto　\dfrac{1+ti}{1-ti}=\dfrac{(1-t^2)+2ti}{1+t^2}$
となり $A=\dfrac{(1-t^2)I+2tJ}{1+t^2}$ だから
$a=d=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ ， $b=-c=-\dfrac{-2t}{1+t^2}$
となる．

$t=\tan\dfrac{\theta}{2}$ とおくと $A=R(\theta)$ となる．
$t$ が実数のとき， $-\pi \lt \theta \lt \pi$ （ $\theta\neq -\pi$ ）だから，求める軌跡は
$x^2+y^2=5$ から $(-3,-4)$ を除いたもの．