2021年(令和3年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[2]

複素数 $a,b,c$ に対して整式 $f(z)=az^2+bz+c$ を考える． $i$ を虚数単位とする．

(1) $\alpha,\beta,\gamma$ を複素数とする． $f(0)=\alpha,f(1)=\beta,f(i)=\gamma$ が成り立つとき， $a,b,c$ をそれぞれ $\alpha,\beta,\gamma$ で表せ．

(2) $f(0),f(1),f(i)$ がいずれも $1$ 以上 $2$ 以下の実数であるとき， $f(2)$ のとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ．

2021.02.25記
(3)は平行六面体を正射影してできる六角形（向い合う辺が平行で長さが等しい六角形）となる．つまり $\alpha,\beta,\gamma=1,2$ の8通りで計算した複素平面上の8点の凸包が求める答．

[解答]

(1) $f(0)=c=\alpha$ ， $f(1)=a+b+c=\beta$ ， $f(i)=-a+bi+c=\gamma$ を解いて
$a=-i\alpha+\dfrac{1+i}{2}\beta+\dfrac{-1+i}{2}\gamma$ ， $b=(-1+i)\alpha+\dfrac{1-i}{2}\beta+\dfrac{1-i}{2}\gamma$ ， $c=\alpha$

(2) $f(2)=4a+2b+c$ $=(-1-2i)\alpha+(3+i)\beta+(-1+i)\gamma$ である．
$(-1-2i)\alpha+(3+i)\beta（1\leqq\alpha,\beta\leqq 2）$ は 4点 $2-i,1-3i,4-2i,5$ を頂点とする平行四辺形の周または内部で，
これを $(-1+i)\gamma（1\leqq\gamma\leqq 2）$ だけ平行移動したものが求める図形で，
$i,-1-i,-2i,3-i,4+i,3+2i$ を6頂点とする六角形の周または内部

(図示略)