1977年(昭和52年)東京大学-数学(理科)[5]旧課程 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[5]（旧課程） $\theta_1$ ， $\theta_2$ ， $\theta_3$ ， $\theta_4$ ， $\theta_5$ を正の数とする．図のように円に内接する $5$ 角形 $\mbox{A}_1\mbox{A}_2\mbox{A}_3\mbox{A}_4\mbox{A}_5$ で， $1\leqq i\leqq 5$ に対し角 $\mbox{A}_i$ の大きさが $\theta_i$ となるものが存在するためには，
$\theta_1+\theta_2+\theta_3+\theta_4+\theta_5=3\pi$ ， $\theta_1+\theta_3\gt\pi$ ， $\theta_2+\theta_4\gt\pi$ ， $\theta_3+\theta_5\gt\pi$ ， $\theta_1+\theta_4\gt\pi$ ， $\theta_2+\theta_5\gt\pi$
が同時に成り立つことが必要かつ十分であることを証明せよ．

2023.08.17記

[解答]
円の中心を $\mbox{O}$ とし， $\angle\mbox{A}_1\mbox{OA}_2=\varphi_1$ ， $\angle\mbox{A}_2\mbox{OA}_3=\varphi_2$ ， $\angle\mbox{A}_3\mbox{OA}_4=\varphi_3$ ， $\angle\mbox{A}_4\mbox{OA}_5=\varphi_4$ ， $\angle\mbox{A}_5\mbox{OA}_1=\varphi_5$ とおく．

このとき，題意の $5$ 角形が存在する必要十分条件は
$\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3+\varphi_4+\varphi_5=2\pi$ ，
$\varphi_1\gt 0$ ， $\varphi_2\gt 0$ ， $\varphi_3\gt 0$ ， $\varphi_4\gt 0$ ， $\varphi_5\gt 0$
が同時に成り立つこと…（★）である．

今，
$\theta_1=\dfrac{\pi-\varphi_5}{2}+\dfrac{\pi-\varphi_1}{2}$ $=\pi-\dfrac{\varphi_5+\varphi_1}{2}$
であり，同様に
$\theta_2=\pi-\dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}$ ， $\theta_3=\pi-\dfrac{\varphi_2+\varphi_3}{2}$ ， $\theta_4=\pi-\dfrac{\varphi_3+\varphi_4}{2}$ ， $\theta_5=\pi-\dfrac{\varphi_4+\varphi_5}{2}$
である．よって
$\theta_1+\theta_3=2\pi-\dfrac{\varphi_5+\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3}{2}$ $=\pi+\dfrac{\varphi_4}{2}$
であり，同様に
$\theta_2+\theta_4=\pi+\dfrac{\varphi_5}{2}$ ， $\theta_3+\theta_5=\pi+\dfrac{\varphi_1}{2}$ ， $\theta_4+\theta_1=\pi+\dfrac{\varphi_2}{2}$ ， $\theta_5+\theta_2=\pi+\dfrac{\varphi_3}{2}$
となる．また，これらを合計すると
$2(\theta_1+\theta_2+\theta_3+\theta_4+\theta_5)$ $=5\pi+\dfrac{\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3+\varphi_4+\varphi_5}{2}$
$=5\pi+\pi$ $=6\pi$ より
$\theta_1+\theta_2+\theta_3+\theta_4+\theta_5=3\pi$
となる．

よって，題意の $5$ 角形が存在するならば（★）が成り立つので，
$\theta_1+\theta_2+\theta_3+\theta_4+\theta_5=3\pi$ ， $\theta_1+\theta_3\gt\pi$ ， $\theta_2+\theta_4\gt\pi$ ， $\theta_3+\theta_5\gt\pi$ ， $\theta_1+\theta_4\gt\pi$ ， $\theta_2+\theta_5\gt\pi$
が同時に成り立つ…（☆）

逆に（☆）が成り立つならば，
$\varphi_1=2(\theta_3+\theta_5-\pi)$ ， $\varphi_2=2(\theta_4+\theta_1-\pi)$ ， $\varphi_3=2(\theta_5+\theta_2-\pi)$ ， $\varphi_4=2(\theta_1+\theta_3-\pi)$ ， $\varphi_5=2(\theta_2+\theta_4-\pi)$
であるから，（★）が成り立つので，題意の $5$ 角形が存在する．

よって（☆）は題意の $5$ 角形が存在する必要十分条件である．