[4] 正方形 の頂点 ,,, がそれぞれ 平面上の点 ,,, の位置にあるとき,点 の位置にある正方形 内の点をとする.ただし, とする.
正方形 が上の位置から出発し,第一象限内において 軸上をその正の向きに滑らずにころがって行くとき,点 が動いてできる曲線を とする.3直線,,と曲線 とで囲まれる図形を, 軸のまわりに1回転してできる立体を考え,その体積を で表す.
をの式で表せ. が の範囲を動くとき, が最小となる の値および の最小値を求めよ.
本問のテーマ
シンプソンの公式(ケプラーの樽公式)
球台と球帽(球冠)の体積
球台と球帽(球冠)の体積
2023.08.17記
ケプラーの樽公式 - 球面倶楽部 零八式 mark II
球台と球帽(球冠)の体積 - 球面倶楽部 零八式 mark II
[うまい解答]
(i) 点 の描く図形は に関して対称であり, では次図のようになる.
(i) 点 の描く図形は に関して対称であり, では次図のようになる.
よって求める回転体の体積を とすると
となり,
となる.
(ii) だから で最小値 をとる.