1978年(昭和53年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.18記

[6] $xy$ 平面において放物線 $y=x^2$ の， $0\lt x\lt 1$ に対応する部分を $\mbox{L}$ とする．（すなわち $\mbox{L}= \{ (x,x^2)\,|\,0\lt x\lt 1 \}$ である．）
点 $\mbox{P}(x,x^2)$ における $\mbox{L}$ の接線が直線 $y=0$ ，直線 $x=1$ と交わる点をそれぞれ $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ とする．また座標が $(0,0)$ ， $(1,0)$ ， $(1,1)$ である三点を，それぞれ $\mbox{O}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ とする．以下つねに $0\lt x\lt 1$ という範囲で考えるものとする．

(1) $\triangle\mbox{PAC}$ ， $\triangle\mbox{PCB}$ の面積をそれぞれ $g(x)$ ， $h(x)$ とするとき， $g(x)\leqq h(x)$ となる $x$ の範囲を求めよ．

(2) 線分 $\mbox{OC}$ および線分 $\mbox{CD}$ と放物線の一部 $\mbox{L}$ で囲まれた範囲を $\mbox{M}$ とする．ただし $\mbox{M}$ はその周である線分 $\mbox{OC}$ ， $\mbox{CD}$ および $\mbox{L}$ を含むものとする．いま $\mbox{L}$ 上の点 $\mbox{P}(x,x^2)$ を頂点とし， $\mbox{M}$ に含まれるような三角形のうちで，最大の面積を持つものの面積を $f(x)$ とする．関数 $f(x)$ を求め，そのグラフを描け．また $f(x)$ の極値を求めよ．

ただし $\mbox{I}=\{ x\,|\,0\lt x\lt 1 \}$ の点 $a$ で，関数 $f$ が極小値（または極大値）をとるとは， $a$ に近い $\mbox{I}$ のすべての点 $x$ に対して $f(a)\leqq f(x)$ （または $f(a)\geqq f(x)$ ）となることをいう．極大値と極小値をあわせて極値という．

2023.08.18記

[解答]
(1) $\mbox{P}(x,x^2)$ とおくと　 $\mbox{A}(x/2,0)$ ， $\mbox{B}(1,2x-x^2)$ であるから，
$g(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2-x}{2}\cdot x^2=\dfrac{x^2(2-x)}{4}$ ，
$h(x)=\dfrac{1}{2}\cdot(2x-x^2)\cdot (1-x)=\dfrac{x(1-x)(2-x)}{2}$
だから
$h(x)-g(x)=\dfrac{3x(2/3-x)(2-x)}{4}\geqq 0$ となるのは（ $0\lt$ ） $x\leqq\dfrac{2}{3}$

(2) 頂点 $\mbox{P}$ を含む辺を延長することにより面積は増えるので三角形の残りの頂点が折れ線 $\mbox{ACB}$ 上にあるとして良い．

この残りの頂点を $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ とし，折れ線 $\mbox{ACB}$ 上に
$\mbox{A}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{B}$ の順番にあるとする．

また， $\mbox{P}$ から $\mbox{AC}$ に下した垂線の足を $\mbox{H}$ とする．

(i) $\mbox{Q}$ が線分 $\mbox{AH}$ 上にあるとき
直線 $\mbox{PQ}$ との距離が一番遠い折れ線 $\mbox{QCB}$ 上の点は $\mbox{C}$ だから
$\triangle\mbox{PQR}\leqq \triangle\mbox{PQC}\leqq \triangle\mbox{PAC}=g(x)$
である．

(i) $\mbox{Q}$ が折れ線 $\mbox{HCB}$ 上にあるとき
直線 $\mbox{PQ}$ との距離が一番遠い折れ線上を $\mbox{Q}$ から $\mbox{B}$ に致る経路上の点は $\mbox{B}$ だから
$\triangle\mbox{PQR}\leqq \triangle\mbox{PQB}$
となる．さらに線分 $\mbox{PB}$ から一番遠い折れ線 $\mbox{HCB}$ 上の点は $\mbox{C}$ であるから
$\triangle\mbox{PQB}\leqq \triangle\mbox{PCB}=h(x)$
となるので
$\triangle\mbox{PQR}\leqq h(x)$
である．

以上から $f(x)=\max\{ g(x),h(x)\}$ となり，(1) より
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} g(x) & (0\lt x\leqq\dfrac{2}{3}) \\ h(x) & (\dfrac{2}{3}\leqq x\lt 1) \end{array}\right.$
となり，下図を得る．

よって
$x=\dfrac{3-\sqrt{3}}{3}$ のとき極大値 $\dfrac{\sqrt{3}}{9}$ ，
$x=\dfrac{2}{3}$ のとき極小値 $\dfrac{4}{27}$
をとる．