1978年(昭和53年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.18記

[1] 半径 $1$ の円 $\mbox{O}$ の周を $6$ 等分する点を図のように順次 $\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_2$ ，……， $\mbox{A}_6$ とする．弧 $\mbox{A}_2\mbox{A}_1\mbox{A}_6$ および半径 $\mbox{OA}_2$ ， $\mbox{OA}_6$ に接する円の中心を $\mbox{P}$ とし，この円 $\mbox{P}$ の周と線分 $\mbox{OP}$ の交点を $\mbox{B}$ とする．線分 $\mbox{OA}_3$ 上に $\mbox{OQ}=\mbox{PA}_1$ をみたすように点 $\mbox{Q}$ を定める． $\mbox{Q}$ を中心とし $\mbox{QA}_3$ を半径とする円周と円 $\mbox{P}$ の交点のうちで，直径 $\mbox{A}_1\mbox{B}$ に関し点 $\mbox{A}_2$ と同じ側にあるものを $\mbox{C}$ とする．

このとき四辺形 $\mbox{OPCQ}$ は平行四辺形であることを証明せよ．また弧 $\mbox{A}_1\mbox{A}_2\mbox{A}_3$ ，弧 $\mbox{A}_3\mbox{C}$ ，弧 $\mbox{CBA}_1$ によって囲まれた領域（図の太線で囲まれた部分）の面積を求めよ．

[2] 二つの放物線 $y=x^2-2x+2$ ……(1)，
$y=-x^2+ax+b$ ……(2) は，
それらの交点の一つ $\mbox{P}$ で，接線が互いに直交しているものとする．このとき，放物線(2)は， $a$ ， $b$ の値に無関係な一定の点 $\mbox{Q}$ を通ることを証明し， $\mbox{Q}$ の座標を求めよ．

[3] $x$ の関数 $f(x)=(x^2-4)(x^2-9)$ の， $t\leqq x\leqq t+1$ という範囲における最大値を $g(t)$ とする． $t$ が $-3\leqq t\leqq 3$ の範囲を動くとき，関数 $s=g(t)$ を求め，そのグラフを描け．

[4] $xy$ 平面で点 $\mbox{P}(-3,6)$ を通り，曲線 $y=x^3-5x^2+x+9$ ……(1) に接する直線のうち，接点の $x$ 座標が $x\geqq 0$ をみたすものを $\mbox{PQ}$ ， $\mbox{PR}$ とする．ただしこれらの直線は点 $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ において曲線(1)に接するものとする．このとき曲線(1)の点 $\mbox{Q}$ から点 $\mbox{R}$ までの部分と，線分 $\mbox{PQ}$ ，線分 $\mbox{PR}$ で囲まれた領域の面積を求めよ．