1963年(昭和38年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.11.24記

[1] 直方体の一つの頂点 $\rm O$ から出る三つの辺を $\rm OA$ ， $\rm OB$ ， $\rm OC$ とし， $\rm O$ から最も遠い頂点を $\rm D$ とする． ${\rm BC}=a$ ， ${\rm CA}=b$ ， ${\rm AB}=c$ とするとき， $\rm OD$ の長さを $a$ ， $b$ ， $c$ で表わせ．また， $a=5$ ， $b=3$ のとき， $c$ のとりうる値の範囲を求めよ．

[2] $\rm P$ は平面上の定点， $l$ はこの平面上の定直線で， $\rm P$ から $l$ までの距離は $\sqrt{3}+1$ である．また， $\rm Q，R，S$ はこの平面上の動点で， $\rm S$ は $l$ 上にあるものとする． $\rm PQ，QR，RS$ の長さはそれぞれ一定で， $2+\sqrt{2}$ ， $2-\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}-1$ に等しい．このとき $\rm R$ の動きうる範囲を図示し，その面積を求めよ．

[zu]

[3] ${\rm AD}=a$ ， ${\rm BC}=b$ ， $\rm AD\parallel BC$ なる台形がある．対角線 $\rm AC，BD$ の交点を ${\rm P}_1$ とし，
$\rm CD$ 上に点 ${\rm Q}_1$ を ${\rm P}_1{\rm Q}_1\parallel{\rm AD}$ となるようにとる．次に， ${\rm AQ}_1$ ， ${\rm DP}_1$ の交点を ${\rm P}_2$ とし， $\rm CD$ 上に点 ${\rm Q}_2$ を ${\rm P}_2{\rm Q}_2\parallel{\rm AD}$ となるようにとる．次に， ${\rm AQ}_2$ ， ${\rm DP}_2$ の交点を ${\rm P}_3$ とし， $\rm CD$ 上に点 ${\rm Q}_3$ を ${\rm P}_3{\rm Q}_3\parallel{\rm AD}$ となるようにとる．以下同様にくりかえして， $n$ 回目にできる線分 ${\rm P}_n{\rm Q}_n$ の長さを $x_n$ とするとき

(1) $x_n$ を $a$ ， $b$ ， $n$ で表わせ．

(2) $\triangle{\rm DP}_{n+1}{\rm Q}_n$ の面積を $F_n$ とするとき $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} F_n$ を求めよ．

ただし， $\angle \rm DBC=\beta，\angle DCB=\gamma$ とする.

[4] 一辺の長さ $a$ の正四面体 $\rm ABCD$ の辺 $\rm AB$ ， $\rm AC$ ， $\rm AD$ の上に $\rm A$ から等距離にそれぞれ点 $\rm P，Q，R$ をとり， $\rm P，Q，R$ から面 $\rm BCD$ に下した垂線の足をそれぞれ ${\rm P}'$ ， ${\rm Q}'$ ， ${\rm R}'$ とする．

[zu]

[5] 一辺の長さ $a$ の正方形 $\rm ABCD$ の内部の動点 $\rm P$ で直交する折線 $\rm TPU$ がある（図参照）． $\rm PT$ は辺 $\rm AD$ と $\rm Q$ で交わり， $\angle\rm AQT$ は $45^{\circ}$ にたもたれている．正方形 $\rm ABCD$ の面積を二等分しつつ折線 $\rm TPU$ がうごくとき，線分 $\rm PQ$ の通過する部分の面積を求めよ．

[zu]

[6] $n$ を $2$ より大きい正の整数とする．曲線 $y=x^n\cdots$ (i)上で， $x$ 座標が $0$ ， $1$ ， $2$ である点をそれぞれ
$\rm O，A，B$ とし， $\rm O，A，B$ をとおり $y$ 軸に平行な軸をもつ放物線 $y=f(x)\cdots$ (ii)をえがく．曲線(i)および放物線(ii)の， $\rm O，A$ の間にある部分の囲む面積を $S_1$ ， $\rm A，B$ の間にある部分の囲む面積を $S_2$ とするとき， $S_1=S_2$ となるためには， $n$ はどのような数でなければならないか．