1978年(昭和53年)東京大学-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.18記

[5] 三角形 $\mbox{ABC}$ において，各辺の長さを， $\mbox{BC}=a$ ， $\mbox{CA}=b$ ， $\mbox{AB}=c$ と記す．いま辺 $\mbox{BC}$ を $n$ 等分する点を $\mbox{P}_1$ ， $\mbox{P}_2$ ， $\cdots\cdots$ ， $\mbox{P}_{n-1}$ とし， $\mbox{P}_n=\mbox{C}$ とする．このとき極限
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n} ({\mbox{AP}_1}^2+{\mbox{AP}_2}^2+\cdots\cdots+{\mbox{AP}_n}^2)$ を求め，これを $a$ ， $b$ ， $c$ で表わせ．

本問のテーマ

スチュワートの定理

2020.10.10記

[うまい解答]
スチュワートの定理から、
$b^2\cdot\dfrac{ak}{n}+c^2\cdot\dfrac{a(n-k)}{n}$ $=a\Bigl({\rm AP}_k^2+\dfrac{a^2k(n-k)}{n^2}\Bigr)$
が成立する．整理して
$\dfrac{1}{n}{\rm AP}_k^2=b^2\cdot\dfrac{k}{n^2}+c^2\cdot\Bigl(\dfrac{1}{n}-\dfrac{k}{n^2}\Bigr)-a^2\cdot\Bigl(\dfrac{k}{n^2}-\dfrac{k^2}{n^3}\Bigr)$
となる．

$n\to\infty$ で $\dfrac{\sum 1}{n}\to 1$ ， $\dfrac{\sum k}{n^2}\to\dfrac{1}{2}$ ， $\dfrac{\sum k^2}{n^3}\to\dfrac{1}{3}$
となるので求める極限は
$b^2\cdot\dfrac{1}{2}+c^2\cdot\Bigl(1-\dfrac{1}{2}\Bigr)-a^2\cdot\Bigl(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\Bigr)$ $=\dfrac{3b^2+3c^2-a^2}{6}$
となる．

まぁ、普通に余弦定理で
${\rm AP}_k^2=c^2+\Bigl(\dfrac{ka}{n}\Bigr)^2-2c\cdot\dfrac{ka}{n}\cos B$
と $\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ からスチュワートの定理が導かれるのだけど。