1979年(昭和54年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.19記

[4] $a$ を正の整数とし，数列 $\{u_n\}$ を次のように定める．
$u_1=2$ ， $u_2=a^2+2$ ，
$u_n=au_{n-2}-u_{n-1}$ ， $n=3$ ， $4$ ， $5$ ，…
このとき，数列 $\{u_n\}$ の項に $4$ の倍数が現れないために， $a$ のみたすべき必要十分条件を求めよ．

2023.08.19記

[解答]
以下 $\mod 4$ で考える．

(1) $a\equiv 0$ のとき
$u_1\equiv 2$ ， $u_2\equiv 2$ ，
$u_n\equiv -u_{n-1}\equiv 4-u_{n-1}$ ， $n=3$ ， $4$ ， $5$ ，…
であるから，帰納的に全ての自然数に対して $u_n\equiv 2$ となり条件をみたす．

(2) $a\equiv 1$ のとき
$u_1\equiv 2$ ， $u_2\equiv 3$ ，
$u_n\equiv u_{n-2}-u_{n-1}$ ， $n=3$ ， $4$ ， $5$ ，…
であるから， $u_3\equiv -1\equiv 3$ ， $u_4\equiv 0$ となり不適．

(3) $a\equiv 2$ のとき
$u_1\equiv 2$ ， $u_2\equiv 2$ ，
$u_n\equiv 2u_{n-2}-u_{n-1}$ ， $n=3$ ， $4$ ， $5$ ，…
であるから，帰納的に全ての自然数に対して $u_n$ は偶数であり，よって
$u_n\equiv -u_{n-1}$ ， $n=3$ ， $4$ ， $5$ ，…
となり，(1)と同じく，帰納的に全ての自然数に対して $u_n\equiv 2$ となり条件をみたす．

(3) $a\equiv 3$ のとき
$u_1\equiv 2$ ， $u_2\equiv 3$ ，
$u_n\equiv 3u_{n-2}-u_{n-1}=-(u_{n-2}+u_{n-1})$ ， $n=3$ ， $4$ ， $5$ ，…
であるから， $u_3\equiv 3$ ， $u_4\equiv 2$ ， $u_5\equiv 3$ となる．与えられた漸化式は隣接3項間漸化式であるから，連続する2つの値が一致すればそれ以降周期的に繰り返すので，
$u_n$ は $\mod 4$ で $2,3,3$ を繰り返し，条件をみたす．

以上から求める条件は「 $a$ を4で割った余りが1でないこと」となる．