[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1981年(昭和56年)東京大学-数学(文科)[3]

2023.08.22記

[3] 2 つの放物線
y=2x^2+1 ……①
y=-x^2+c……②
の共通部分の方程式を求めよ．ただし c は定数で，c\lt 1 をみたすものとする．

つぎに，共通接線と放物線①で囲まれた部分の面積を S_1，共通接線と放物線②で囲まれた部分の面積を S_2 としたとき，\dfrac{S_1}{S_2} の値を求めよ．

本問のテーマ
放物線の相似

2020.11.26記

放物線の相似

[解答]
y=2x^2+1 を -2 倍に拡大したものが y=-x^2+c となるので，\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{1}{4}

相似の中心は \Bigl(0,\dfrac{c+2}{3}\Bigr) だから y=2x^2+1 の x=t における接線 y=4t(x-t)+2t^2+1=4tx-2t^2+1 が相似の中心を通ることから t=\pm\sqrt{\dfrac{1-c}{6}} となり，共通接線の方程式は y=\pm\dfrac{2\sqrt{6}}{3}x+\dfrac{c+2}{3}