2022年(令和4年)大阪大学-数学(文系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.05記

[3] 以下の問いに答えよ．

(1) 実数 $\alpha,\beta$ に対し，
$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)dx=\dfrac{(\alpha-\beta)^3}{6}$
が成り立つことを示せ．

(2) $a,b$ を $b\gt a^2$ を満たす定数とし，座標平面上に点 ${\rm A}(a,b)$ をとる．さらに，点 $\rm A$ を通り，傾きが $k$ の直線を $\ell$ とし，直線 $\ell$ と放物線 $y=x^2$ で囲まれた部分の面積を $S(k)$ とする． $k$ が実数全体を動くとき， $S(k)$ の最小値を求めよ．

2022.03.05記
$\dfrac{1}{6}$ 公式を証明させるのだから， $\dfrac{1}{6}$ 公式を使ってはいけない．

(2) は超有名問題で， $\ell$ の傾きが $x=a$ における接線の傾き $2a$ に等しいときに $S(k)$ が最小となる．その最小値は $\dfrac{4}{3}(b-a^2)^{3/2}$ となることが知られている（カヴァリエリの原理を使うと良い）．

[解答]

(1) $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)dx$ $=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \{(x-\beta)-(\alpha-\beta)\}(x-\beta)dx$ $=\Bigl[\dfrac{(x-\beta)^3}{3}-(\alpha-\beta)\cdot\dfrac{(x-\beta)^2}{2}\Bigr]_{\alpha}^{\beta}$ $=-\dfrac{(\alpha-\beta)^3}{3}-(\alpha-\beta)\cdot\dfrac{(\alpha-\beta)^2}{2}$ $=\dfrac{(\alpha-\beta)^3}{6}$
である．
(2) $\ell:y=k(x-a)+b$ と $y=x^2$ の交点は，
$x^2-k(x-a)-b=x^2-kx+ka-b=0$ の2解で，この2次方程式の判別式は $k^2-4(ka-b)=(k-2a)^2+4(b-a^2)$ となり， $b\gt a^2$ から正の値となるので， $\ell$ と $y=x^2$ は任意の実数 $k$ に対して必ず相異なる2点で交わる．

この2交点の $x$ 座標を $\alpha$ ， $\beta$ （ $\alpha\lt\beta$ ）とすると，解と係数の関係より
$\alpha+\beta=k$ ， $\alpha\beta=ka-b$
であり，
$S(k)=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \{(k(x-a)+b-x^2\}dx$ $=-\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)dx$ $=-\dfrac{(\alpha-\beta)^3}{6}$ $=\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}$
が成立する（ $\beta-\alpha\gt 0$ より $\beta-\alpha$ に書き換えた）．

ここで
$(\beta-\alpha)^2=(\alpha+\beta)-4\alpha\beta$ $=k^2-4(ka-b)$ $=(k-2a)^2+4(b-a^2)$
の実数 $k$ における最小値は， $k=2a$ のときの $4(b-a^2)$ であるから，
$S(k)\geqq \dfrac{\{4(b-a^2)\}^{3/2}}{6}$ $=\dfrac{4(b-a^2)^{3/2}}{3}$
となり， $S(k)$ の最小値は $\dfrac{4(b-a^2)^{3/2}}{3}$ である．