1981年(昭和56年)東京大学-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.22記

[2] $\mbox{A}$ が $100$ 円硬貨を $4$ 枚， $\mbox{B}$ が $50$ 円硬貨を $3$ 枚投げ，硬貨の表が出た枚数の多い方を勝ちとし，同じ枚数のときは引き分けとする．硬貨の表，裏の出る確率はすべて $\dfrac{1}{2}$ であるものとする．

(1) $\mbox{A}$ の勝つ確率， $\mbox{B}$ の勝つ確率，引き分けの確率を求めよ．

(2) もし，勝った方が相手の投げた硬貨を全部もらえるとしたら， $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ とどちらが有利か．

2020.11.26記
一枚差なら多い方が勝つ確率が $\dfrac{1}{2}$ となることが知られている．

[解答]
A,B が3枚ずつ投げて，そのあと最後にAがもう一枚投げることにする．

A,B が3枚ずつ投げたときに A が勝つ確率を $p$ とすると，Bが勝つ確率も $p$ であり，引き分けの確率も $p$ である．よって A が勝つ確率は
$p\cdot 1+(1-2p)\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$ である．

引き分けの確率は $\dfrac{1\cdot 1+3\cdot 4 + 3\cdot 6+1\cdot 4}{128}=\dfrac{35}{128}$

B が勝つ確率は残り $\dfrac{29}{128}$

(2) A の収支の期待値は
$150\cdot\dfrac{1}{2}-400\cdot\dfrac{29}{128}\lt 0$
だから B が有利