1983年(昭和58年)東京大学-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.23記

[2] 傾いた平面上で，もっとも急な方向の勾配(こうばい)（傾き）が $\dfrac{1}{3}$ であるという．いま南北方向の勾配を測ったところ $\dfrac{1}{5}$ であった．東西方向の勾配はどれだけか．

2020.11.28記
中学生でも解ける東大入試で良く扱われる問題．座標でさっと解くのが簡単．

[解答]
平面上のある点を ${\rm O}(0,0,0)$ とし，北向きを $x$ 軸正方向で登り，西向きを $y$ 軸正方向で登りであるとしても良い．
東西方向の勾配を $\dfrac{1}{a}$ （ $a\gt 0$ ）とすると， ${\rm A}(5,0,1)$ と ${\rm B}(a,0,1)$ は平面上にあるので，
平面の方程式は $\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{a}-z=0$ ，つまり $ax+5y-5az=0$ とかける．
この平面と $z$ 軸正方向のなす角度の tan が $\dfrac{1}{3}$ ，つまり cos が $\dfrac{3}{\sqrt{10}}$ となれば良いので
$\dfrac{|-5a|}{\sqrt{26a^2+25}}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$
よって $250a^2=234a^2+9\times 25$ となり， $a=\dfrac{15}{4}$ となる．

よって求める勾配は $\dfrac{1}{a}=\dfrac{4}{15}$

中学生向けの解法は，

[うまい解答]
勾配が $\dfrac{1}{3}$ と $\dfrac{1}{5}$ であることから上記の $\triangle\rm OAB$ を水平面に正射影すると 3:4:5 の直角三角形になるので $a:5=3:4$ から $a=\dfrac{15}{4}$

とするものである．

2024.05.14記
数学セミナー2024年6月号の松野陽一郎さんの記事に[解答]を一般化したものがあった．それは平面 $z=f(x,y)=px+qy$ の $x$ 軸方向(東西方向)の勾配は $p$ ， $y$ 軸方向(南北方向)の勾配は $q$ ，最大勾配は $\sqrt{p^2+q^2}$ となるという話．

だから $\dfrac{1}{3}=\sqrt{p^2+\left(\dfrac{1}{5}\right)^2}$ （ $p\geqq 0$ ）を解いて $p=\dfrac{15}{4}$ となる，というもの．

この点と直線の距離の公式と平面の勾配の関係に関する話って有名で，例えば
genkuroki.github.io
参照．

なお、これら記事には書いていないが $z=f(x,y)=px+qy$ の $x$ 軸方向(東西方向)の勾配は $p$ ， $y$ 軸方向(南北方向)の勾配は $q$ ，最大勾配は $\sqrt{p^2+q^2}$ となるという話は $x=\cos\theta$ ， $y=\sin\theta$ とおいて $z=p\cos\theta+q\sin\theta=\sqrt{p^2+q^2}\cos(\theta+\beta)$ と考えればほぼ自明．

[うまい解答]
平面の式を $z=px+qy$ とおくと $(\cos\theta,\sin\theta)$ 方向の勾配は
$p\cos\theta+q\sin\theta$
となる．南北方向の勾配は $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ として $|q|=\dfrac{1}{5}$ ，
最大勾配は合成公式から $\sqrt{p^2+q^2}=\dfrac{1}{3}$ だから
東西方向の勾配は $\theta=0$ として $|p|=\dfrac{4}{15}$ となる．