[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1983年(昭和58年)東京大学-数学(理科)[6]

2023.08.23記

[6] 放物線 y=\dfrac{3}{4}-x^2 を y 軸のまわりに回転して得られる曲面 \mbox{K} を，原点を通り回転軸と 45^{\circ}の角をなす平面 \mbox{H} で切る．曲面 \mbox{K} と平面 \mbox{H} で囲まれた立体の体積を求めよ．

本問のテーマ
カヴァリエリの原理
回転放物面でできる体積は円柱の半分

2020.11.24記

[大人の解答]
回転放物面の式は y=\dfrac{3}{4}-x^2-z^2 とかけ，平面の式 y=x を引くと，求める体積は
y=\dfrac{3}{4}-x^2-x-z^2=1-\Bigl(x+\dfrac{1}{2}\Bigr)^2-z^2 と xz 平面で囲まれる部分の体積に等しい．

これは、底面の半径が1の円，高さが1の円柱の体積の半分で \dfrac{\pi}{2}