1989年(昭和64年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] $k\gt 0$ とする． $xy$ 平面上の二曲線 $y=k(x-x^3)，x=k(y-y^3)$ が第1象限に $\alpha\neq\beta$ なる交点 $(\alpha,\beta)$ をもつような $k$ の範囲を求めよ．

[2] $xy$ 平面上に $y=-1$ を準線，点 $\rm F(0,1)$ を焦点とする放物線がある．この放物線上の点 ${\rm P}(a,b)$ を中心として，準線に接する円 $C$ を描き，接点を $\rm H$ とする． $a\gt 2$ とし，円 $C$ と $y$ 軸との交点のうち $\rm F$ と異なるものを $\rm G$ とする．扇形 $\rm PFH$ （中心角の小さい方）の面積を $S(a)$ ，三角形 $\rm PGF$ の面積を $T(a)$ とするとき， $a\to\infty$ としたときの極限値 $\displaystyle \lim_{a\to\infty}\dfrac{T(a)}{S(a)}$ を求めよ．

[3] 虚部が正の複素数の全体を $H$ とする．すなわち， $H=\{z=x+iy\,|\ x，y は実数で y\gt 0 \}$ とする．以下 $z$ を $H$ に属する複素数とする． $q$ を正の実数とし， $f(z)=\dfrac{z+1-q}{z+1}$ とおく．

(1) $f(z)$ もまた $H$ に属することを示せ．

(2) $f_1(z)=f(z)$ と書き，以下 $n=2，3，4，\cdots$ に対して
$f_2(z)=f(f_1(z))$ ， $f_3(z)=f(f_2(z))$ ， $\cdots$ ， $f_n(z)=f(f_{n-1}(z))$ ， $\cdots$
とおく．このとき， $H$ のすべての元 $z$ に対して
$f_{10}(z)=f_5(z)$ が成立するような $q$ の値を求めよ．

[4] $\dfrac{10^{210}}{10^{10}+3}$ の整数部分のけた数と，1の位の数字を求めよ．ただし， $3^{21}=10460353203$ を用いてよい．

[5] $f(x)=\pi x^2 \sin \pi x^2$ とする． $y=f(x)$ のグラフの $0\leqq x\leqq 1$ の部分と $x$ 軸とで囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに回転させてできる立体の体積 $V$ は $V=2\pi\displaystyle \int_{0}^{1} xf(x)\,dx$ で与えられることを示し，この値を求めよ．

[6] 3個の赤玉と $n$ 個の白玉を無作為に環状に並べるものとする．このとき白玉が連続して $k+1$ 個以上並んだ箇所が現れない確率を求めよ．ただし $\dfrac{n}{3}\leqq k\lt \dfrac{n}{2}$ とする．

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2021.06.11記

懐しい資料が見つかった

受験のときに習う計算のテクニック等々は，数学については全く無駄なものではない．この点からも東大受験生についてはその数学の実力のレベルが低下しているのではないだろうか．東大は立体図形が出題される，等という情報を入手することに重きを置いて，本来の勉強が軽視されているのではないか，と言ったら悲観的すぎるだろうか．