1988年(昭和63年)東京工業大学-数学[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.07.26記

[5] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{{}_{3n}\mbox{C}_{n}}{{}_{2n}\mbox{C}_{n}}\right)^{\frac{1}{n}}$ を求めよ．

2023.07.26記

本問のテーマ

Stirling の公式（Stirling の近似）
シャノンエントロピー

$n,m$ が大きいとき，
スターリングの公式 $\log N!\sim N\log N-N$ から
$\log {}_n\mbox{C}_m$ $\sim n\log n - n - m\log m + m - (n-m)\log (n-m) +n-m$
$=-m\log\dfrac{m}{n}-(n-m)\log\dfrac{n-m}{n}$ $=n H\left(\dfrac{m}{n}\right)$
となる．ここで $H(x)$ は2元アルファベットのシャノンエントロピーである．

なお，計算上は
$\log {}_n\mbox{C}_m$ $=n\log n - m\log m - (n-m)\log (n-m)$ ，
つまり
${}_n\mbox{C}_m$ ≒ $\dfrac{n^n}{m^m (n-m)^{n-m}}$
（これは比の値が1に近づかないので「 $\sim$ 」にはならないが、大抵 $\dfrac{1}{n}$ 乗根と組合せるので問題にならないことが多い，後述）の方が速いことが多い．

[大人の解答]
$a_n=\left(\dfrac{{}_{3n}\mbox{C}_{n}}{{}_{2n}\mbox{C}_{n}}\right)^{\frac{1}{n}}$ とおくと
$\log a_n=\dfrac{1}{n}\left(3n H\left(\dfrac{1}{3}\right)-2n H\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)$
$=3H\left(\dfrac{1}{3}\right)-2H\left(\dfrac{1}{2}\right)$
$=3\left(\dfrac{1}{3}\log 3+\dfrac{2}{3}\log\dfrac{3}{2}\right)$ $-2\left(\dfrac{1}{2}\log 2+\dfrac{1}{2}\log 2\right)$
$=3\log 3-4\log 2=\log\dfrac{27}{16}$
となり，求める極限は $\dfrac{27}{16}$ となる．

見易いように $H(x)$ を経由したが，経由せずに
$\displaystyle\left(\dfrac{{}_{3n}\mbox{C}_{n}}{{}_{2n}\mbox{C}_{n}}\right)^{\frac{1}{n}}$ $\mbox{≒}\left(\dfrac{\dfrac{(3n)^{3n}}{n^{n}\cdot (2n)^{2n}}}{\dfrac{(2n)^{2n}}{n^{n}\cdot n^{n}}}\right)^{\frac{1}{n}}$ $=\dfrac{\dfrac{(3)^{3}}{1^{1}\cdot (2)^{2}}}{\dfrac{(2)^{2}}{1^{1}\cdot 1^{1}}}$ $=\dfrac{3^3}{2^4}$ $=\dfrac{27}{16}$
とした方が速い．

なお，スターリングの公式 $\log N!\sim N\log N-N$ は簡易版とも呼ばれる．
というのも，この近似では $\log N!\sim N\log N-N$ であるものの
$N!\not\sim \left(\dfrac{N}{e}\right)^n$
である．より精密には
$N!\sim \sqrt{2\pi N}\left(\dfrac{N}{e}\right)^N$
となる．

なお，

2015年(平成27年)大阪大学-前期専門数学[2]

が $N!\sim \sqrt{2\pi N}\left(\dfrac{N}{e}\right)^N$ に関する出題である．これを用いると
${}_n\mbox{C}_m$ $\sim\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$ $\cdot \dfrac{n^{n+\frac{1}{2}}}{m^{m+\frac{1}{2}}(n-m)^{n-m+\frac{1}{2}}}$
となることがわかる．

精密化における違い $\sqrt{\dfrac{n}{2\pi m(n-m)}}$ は，本問では
$\dfrac{\sqrt{\dfrac{3n}{2\pi\cdot 2n^2}}}{\sqrt{\dfrac{2n}{2\pi n^2}}}$ $=\sqrt{\dfrac{3}{4}}$
となるが，これは $\dfrac{1}{n}$ 乗されるので1に近づく故，本問では問題にならない差異となる．

[解答]
$a_n=\left(\dfrac{{}_{3n}\mbox{C}_{n}}{{}_{2n}\mbox{C}_{n}}\right)^{\frac{1}{n}}$ とおくと
$\log a_n =\dfrac{1}{n}\log\dfrac{{}_{3n}\mbox{P}_n}{{}_{2n}\mbox{P}_n}$ $=\displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log\dfrac{2+\dfrac{k}{n}}{1+\dfrac{k}{n}}$
により，
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\log a_n =\int_0^1\log\dfrac{2+x}{1+x} dx$ $=\Bigl[ (x+2)\log(x+2)-(x+1)\log(x+1)\Bigr]_0^1$ $=3\log 3-4\log 2=\log\dfrac{27}{16}$
となり，求める極限は $\log\dfrac{27}{16}$ となる．

1968年(昭和43年)東京工業大学-数学[5]

も参照のこと．