1989年(昭和64年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[2] $xy$ 平面上に $y=-1$ を準線，点 $\rm F(0,1)$ を焦点とする放物線がある．この放物線上の点 ${\rm P}(a,b)$ を中心として，準線に接する円 $C$ を描き，接点を $\rm H$ とする． $a\gt 2$ とし，円 $C$ と $y$ 軸との交点のうち $\rm F$ と異なるものを $\rm G$ とする．扇形 $\rm PFH$ （中心角の小さい方）の面積を $S(a)$ ，三角形 $\rm PGF$ の面積を $T(a)$ とするとき， $a\to\infty$ としたときの極限値 $\displaystyle \lim_{a\to\infty}\dfrac{T(a)}{S(a)}$ を求めよ．

2021.01.23記

[解答]
十分大きな $a$ に対して， $\rm G$ の $y$ 座標は $\rm F$ の $y$ 座標より大きくなり，このとき $\angle\rm FPH=\theta$ とおくと，
$\dfrac{T(a)}{S(a)}$ $=\dfrac{\sin\angle{\rm FPG}}{\sin\angle{\rm FPH}}$ $=\dfrac{\sin (\pi-2\theta)}{\theta}$ $=\dfrac{\sin 2\theta}{\theta}$
が成立する．

焦点 $(0,1)$ ，準線 $y=-1$ の放物線の式は $b=\dfrac{a^2}{4}$ であるから，
$\sin\theta=\sin \angle{\rm FPH}=\dfrac{\rm PM}{\rm PH}=\dfrac{a}{b+1}=\dfrac{4a}{a^2+4}\to 0$ となり，
$\displaystyle\lim_{a\to\infty}\dfrac{T(a)}{S(a)}=\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\dfrac{2\cos\theta\sin\theta}{\theta}\to 2$ となる．