1989年(昭和64年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] $k\gt 0$ とする． $xy$ 平面上の二曲線 $y=k(x-x^3)，x=k(y-y^3)$ が第1象限に $\alpha\neq\beta$ なる交点 $(\alpha,\beta)$ をもつような $k$ の範囲を求めよ．

2019.04.03記

[解答]
$x+y\neq 0，x-y\neq 0$ であるから，和および差を $x+y$ や $x-y$ で割ることにより、
$y=k(x-x^3)，x=k(y-y^3)$ $\Longleftrightarrow 1=k(1-x^2+xy-y^2)，-1=k(1-x^2-xy-y^2)$ $\Longleftrightarrow x^2+y^2=1，xy=\dfrac{1}{k}$
であるから，この2曲線が $x-y\neq 0$ なる交点を第1象限にもつ範囲を考えて $k\gt2$

2019.06.14記

[解答]
(途中から)

$x^2+y^2=1，xy=\dfrac{1}{k}$ なる実数 $x,y(x\neq y)$ が存在する条件は $x=\cos\theta,\,y=\sin\theta$ とおくと $\sin 2\theta=\dfrac{2}{k}\lt 1$ から $k\gt2$