2023年(令和5年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.11.22記

[2] 黒玉3個，赤玉4個，白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し，取り出した玉を順に横一列に12個すべて並べる．ただし，袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする．

(1) どの赤玉も隣り合わない確率 $p$ を求めよ．

(2) どの赤玉も隣り合わないとき，どの黒玉も隣り合わない条件付き確率 $q$ を求めよ．

2023.11.04記
解説書かなくてもいいかな．
mathlog.info

2023.11.23記
東大の最近の確率の問題は，うまい数え方に気がつかないと厳しい．

[解答]
(1) 全並べ方は $\dfrac{12!}{3!4!5!}$ 通りである．

黒白の並べ方は $\dfrac{8!}{3!5!}$ 通りあり，その8個の外と内の9個の場所から赤の入れる4箇所を選んで赤を並べるとどの赤玉も隣り合わず、その場合の数は
$\dfrac{8!}{3!5!}\cdot \dfrac{9!}{4!5!}$
となる．よって
$p=\dfrac{8!}{3!5!}\cdot \dfrac{9!}{4!5!}\cdot\dfrac{3!4!5!}{12!}$ $=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{10\cdot 11\cdot 12}$ $=\dfrac{14}{55}$
である．

(2) 黒白の並べ方は $\dfrac{8!}{3!5!}=56$ 通りある．このうち
(i) 黒が $3$ 連続するのは $6$ 通り
(ii) 黒が $2$ 個， $1$ 個と分かれるのは $6\times 5=30$ 通り
(iii) 黒がばらばらに分かれるのは $\dfrac{6\times 5\times 4}{3!}=20$ 通り
である．