1989年(昭和64年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] $k\gt 0$ とする． $xy$ 平面上の二曲線 $y=k(x-x^3)，x=k(y-y^3)$ が第1象限に $\alpha\neq\beta$ なる交点 $(\alpha,\beta)$ をもつような $k$ の範囲を求めよ．

[2] $a\gt 0$ に対して次の二つの放物線を考える．
$C_1: y=x^2+\dfrac{1}{a^2} \quad C_2:y=-(x-a)^2$

(1) $C_1，C_2$ の両方に接するような直線がつねに $2$ 本存在することを示せ．

(2) (1)で定まる四つの接点が作る四角形の面積 $S(a)$ の最小値を求めよ．

[3] 虚部が正の複素数の全体を $H$ とする．
すなわち， $H=\{z=x+iy\,|\ x，y は実数で y\gt 0 \}$ とする．以下 $z$ を $H$ に属する複素数とする． $q$ を正の実数とし， $f(z)=\dfrac{z+1-q}{z+1}$ とおく．

(1) $f(z)$ もまた $H$ に属することを示せ．

(2) $f_1(z)=f(z)$ と書き，以下 $n=2，3，4，\cdots$ に対して
$f_2(z)=f(f_1(z))$ ， $f_3(z)=f(f_2(z))$ ， $\cdots$ ， $f_n(z)=f(f_{n-1}(z))$ ， $\cdots$
とおく．このとき，各 $n$ に対して
$f_n(z)=\dfrac{r_nz+(1-q)s_n}{s_nz+r_n}, \quad {r_n}^2-(1-q){s_n}^2=q^n$
が成り立つような $z$ によらない実数 $r_n，s_n$ がとれることを示せ．

[4] 半径 $r$ の円 $\rm O$ のまわりに一辺の長さ $a$ の正三角形 $\rm ABC$ を円 $\rm O$ と同一平面内で次の二条件を満たしながら可能な限り移動させる．

(i) $\triangle\rm ABC$ は円 $\rm O$ の内部と共有点を持たず，円 $\rm O$ の周とただ一点を共有する．

(ii) ベクトル $\overrightarrow{\rm AB}$ ， $\overrightarrow{\rm BC}$ ， $\overrightarrow{\rm CA}$
はそれぞれ一定に保たれる．

このとき， $\triangle\rm ABC$ の通過し得る範囲を図示して，その面積 $S$ を求めよ．さらに， $\triangle\rm ABC$ の面積を $T$ とするとき， $r\to0$ としたときの極限値 $\displaystyle\lim_{r\to0}\dfrac{S}{T}$ を求めよ．

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