[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2023年(令和5年)東京大学-数学(文科)

2023.11.22記

[1] $k$ を正の実数とし，2次方程式 $x^2+x-k=0$ の2つの実数解を $\alpha$ ， $\beta$ とする． $k$ が $k\gt 2$ の範囲を動くとき， $\dfrac{\alpha^3}{1-\beta}+\dfrac{\beta^3}{1-\alpha}$ の最小値を求めよ．

[2] 座標平面上の放物線 $y=3x^2-4x$ を $C$ とおき，直線 $y=2x$ を $l$ とおく．実数 $t$ に対し， $C$ 上の点 $P(t, \, 3t^2-4t)$ と $l$ の距離を $f(t)$ とする．

(1) $-1 \leqq a \leqq 2$ の範囲の実数 $a$ に対し，定積分 $g(a)=\displaystyle\int_{-1}^a f(t) dt$ を求めよ．

(2) $a$ が $0 \leqq a \leqq 2$ の範囲を動くとき， $g(a)-f(a)$ の最大値および最小値を求めよ．

[3] 黒玉3個，赤玉4個，白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し，取り出した玉を順に横一列に12個すべて並べる．ただし，袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする．

(1) どの赤玉も隣り合わない確率 $p$ を求めよ．

(2) どの赤玉も隣り合わないとき，どの黒玉も隣り合わない条件付き確率 $q$ を求めよ．

[4] 半径1の球面上の相異なる4点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ が $\mbox{AB}=1$ ， $\mbox{AC}=\mbox{BC}$ ， $\mbox{AD}=\mbox{BD}$ ， $\cos\angle{\mbox{ACB}}=\cos\angle{\mbox{ADB}}=\dfrac{4}{5}$ を満たしているとする．

(1) 三角形 $\mbox{ABC}$ の面積を求めよ．

(2) 四面体 $\mbox{ABCD}$ の体積を求めよ．

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