1990年(平成2年)東京大学後期-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.04記

[2] $A=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ とし， $\mbox{P}_0$ を $xy$ 平面上の原点とする． $i=1$ ，…， $6$ に対して， $a_i$ を正の実数とし， $\begin{pmatrix} x_i \\ y_i \end{pmatrix}=A^i\begin{pmatrix} a_i \\ 0 \end{pmatrix}$ とおいたとき，点 $\mbox{P}_i$ を $\overrightarrow{\mbox{P}_{i-1}\mbox{P}_i}=\begin{pmatrix} x_i \\ y_i \end{pmatrix}$ となるように定める．ただし，このとき $\mbox{P}_6=\mbox{P}_0$ となっているものとする． $\mbox{P}_0$ ， $\mbox{P}_1$ ，…， $\mbox{P}_6$ を順に結んで得られる六角形を $\mbox{H}$ とおく．

(1) $a_1-a_4=a_5-a_2=a_3-a_6$ であることを示せ．

(2) $\displaystyle\sum_{i=1}{6} a_i=6$ ， $a_1-a_4=1$ とするとき， $\mbox{H}$ の面積の最大値を求めよ．

(3) $\displaystyle\sum_{i=1}{6} a_i=6$ とするとき， $\mbox{H}$ の面積の最大値を求めよ．

本問のテーマ

等角六角形

2024.01.04記
本問とは関係ないが，各辺の長さが自然数で周の長さが $n$ となる等角六角形の個数については
Prolect Euler #600
#600 Integer Sided Equiangular Hexagons - Project Euler
に出題されている．本館に解答及び一般の $n$ における表記を書いていたが，一応 Project Euler の web page には解答を web で公開するなと書いてあったので取り下げた．

各辺の長さが自然数で最大辺が $n$ 以下となる等角六角形の個数については
2012 UNCO Math Contest II Problems/Problem 10
Art of Problem Solving
参照

2024.01.05記

[解答]
(1) $\mbox{P}_5\mbox{P}_0$ と $\mbox{P}_1\mbox{P}_2$ の交点を $\mbox{A}$ ，
$\mbox{P}_1\mbox{P}_2$ と $\mbox{P}_3\mbox{P}_4$ の交点を $\mbox{B}$ ，
$\mbox{P}_3\mbox{P}_4$ と $\mbox{P}_5\mbox{P}_6$ の交点を $\mbox{C}$
とおくと $\triangle\mbox{ABC}$ は正三角形である．各辺の長さが等しいことから
$a_5+a_6+a_1=a_1+a_2+a_3=a_3+a_4+a_5$
となり，よって $a_1-a_4=a_5-a_2=a_3-a_6$ である．

(2)(3) $a_1-a_4=a_5-a_2=a_3-a_6=k$ とおくと $\mbox{H}$ の面積 $S$ は
$\dfrac{4}{\sqrt{3}}S=(a_5+a_6+a_1)^2-(a_1^2+a_3^2+a_5^2)$ $=(a_1+a_3+a_5-k)^2-(a_1^2+a_3^2+a_5^2)$
である．ここで
$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=2(a_1+a_3+a_5)-3k=6$
であるから，
$\dfrac{16}{\sqrt{3}}S=(2(a_1+a_3+a_5)-2k)^2-4(a_1^2+a_3^2+a_5^2)$ $=(k+6)^2-4(a_1^2+a_3^2+a_5^2)$
が成立する．ここで $k$ を固定すると $a_1+a_3+a_5=\dfrac{3k+6}{2}$ で一定であり，
シュワルツの不等式により
$(1^2+1^2+1^2)(a_1^2+a_2^2+a_3^2)\geqq (a_1+a_3+a_5)^2=\dfrac{9(k+2)^2}{4}$
（等号成立は $a_1=a_3=a_5=\dfrac{k+2}{2}$ のとき）
であるから，このとき
$\dfrac{16}{\sqrt{3}}S\leqq (k+6)^2-3(k+2)^2=24-2k^2$
つまり
$S\leqq \dfrac{(12-k^2)\sqrt{3}}{8}$
となる．