1990年(平成2年)東京大学後期-数学 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.04記

[1] $xy$ 平面上の $4$ 点 $\mbox{O}(0,0)$ ， $\mbox{A}(2,0)$ ， $\mbox{B}(2,2)$ ， $\mbox{C}(0,2)$ を頂点とする正方形を $\mbox{Q}$ とする．このとき，次の条件を満たす $xy$ 平面上の点 $\mbox{P}$ の存在する範囲を図示し，その部分の面積を求めよ．

（条件）点 $\mbox{P}$ を通って， $\mbox{Q}$ の面積 $4$ を $1$ と $3$ に切り分けるような直線を引くことができない．

[2] $A=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ とし， $\mbox{P}_0$ を $xy$ 平面上の原点とする． $i=1$ ，…， $6$ に対して， $a_i$ を正の実数とし， $\begin{pmatrix} x_i \\ y_i \end{pmatrix}=A^i\begin{pmatrix} a_i \\ 0 \end{pmatrix}$ とおいたとき，点 $\mbox{P}_i$ を $\overrightarrow{\mbox{P}_{i-1}\mbox{P}_i}=\begin{pmatrix} x_i \\ y_i \end{pmatrix}$ となるように定める．ただし，このとき $\mbox{P}_6=\mbox{P}_0$ となっているものとする． $\mbox{P}_0$ ， $\mbox{P}_1$ ，…， $\mbox{P}_6$ を順に結んで得られる六角形を $\mbox{H}$ とおく．

(1) $a_1-a_4=a_5-a_2=a_3-a_6$ であることを示せ．

(2) $\displaystyle\sum_{i=1}{6} a_i=6$ ， $a_1-a_4=1$ とするとき， $\mbox{H}$ の面積の最大値を求めよ．

(3) $\displaystyle\sum_{i=1}{6} a_i=6$ とするとき， $\mbox{H}$ の面積の最大値を求めよ．

[3] 長さ $1$ の線分をつなげてできる右のような平面上の図形 $\mbox{Q}_1$ ， $\mbox{Q}_2$ ， $\mbox{Q}_3$ ，… を考える． $n=1$ ， $2$ ， $3$ ，… に対し，図形 $\mbox{Q}_n$ の左端の点を $\mbox{A}_n$ ，右端の点を $\mbox{B}_n$ ，上端の点を $\mbox{C}_n$ とする．

図形 $\mbox{Q}_1$ 略
図形 $\mbox{Q}_2$ 略
図形 $\mbox{Q}_3$ 略
図形 $\mbox{Q}_4$ 略

$\mbox{Q}_1$ は一辺の長さが $1$ の正三角形の周である． $\mbox{Q}_2$ は図のように， $\mbox{Q}_1$ を $3$ つつなげてできる図形である．

$\mbox{Q}_n$ と同じ図形を $3$ つ用意し，それらを $\mbox{Q}_n(1)$ ， $\mbox{Q}_n(2)$ ， $\mbox{Q}_n(3)$ とする． $i=1$ ， $2$ ， $3$ に対し， $\mbox{Q}_n(i)$ の左端の点を $\mbox{A}_n(i)$ ，右端の点を $\mbox{B}_n(i)$ ，上端の点を $\mbox{C}_n(i)$ としたとき， $\mbox{Q}_{n+1}$ は， $\mbox{B}_n(1)$ と $\mbox{A}_n(2)$ ， $\mbox{C}_n(2)$ と $\mbox{B}_n(3)$ ， $\mbox{A}_n(3)$ と $\mbox{C}_n(1)$ がそれぞれ同一の点になるようにおいてできる図形である．

$\mbox{Q}_n$ において， $\mbox{A}_n$ から線分の上を通り，一度通った点は二度通らずに $\mbox{B}_n$ まで行く行き方を考える．この行き方のうち，途中 $\mbox{C}_n$ を通らない場合の個数を $x_n$ とし，途中 $\mbox{C}_n$ を通る場合の個数を $y_n$ とする．容易にわかるように， $x_1=y_1=1$ である．