1967年(昭和42年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.29記

[2] 辺の長さ2の正方形 $A$ が，その中心を円 $x^2+y^2=1$ の周上におきながら，かつその辺を座標軸に平行に保ちながら動く．一方，同じ大きさの正方形 $B$ が固定されていて，辺が座標軸に平行であり，その中心が点 $(1，2)$ にある．このとき，2つの正方形 $A，B$ の共通部分の面積の最大値を求めよ．

注．正方形の中心とは，その2 つの対角線の交点をいう．

2022.05.02記

[解答]
正方形Aの中心を $(\cos\theta,\sin\theta)$ とおくとき，2つの正方形に共通部分がある条件は
2つの正方形の中点 $\left(\dfrac{\cos\theta+1}{2},\dfrac{\sin\theta+2}{2}\right)$ が正方形Bに含まれることであるから
$0\leqq \dfrac{\cos\theta+1}{2}\leqq 2,1\leqq \dfrac{\sin\theta+2}{2}\leqq 3$
つまり
$-1\leqq \cos\theta\leqq 3$ ， $0\leqq \sin\theta\leqq 4$
となり $0\leqq \theta\leqq \pi$ となる．

このとき，共通部分の面積は
$S(\theta)=\sin\theta(\cos\theta+1)$
だから
$S'(\theta)=\cos\theta(\cos\theta+1)-\sin^2\theta$ $=(2\cos\theta-1)(\cos\theta+1)$
となる．よって $0\theta\leqq \pi$ では $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ の前後で正から負へと符号を変えるので、
極大かつ最大となる．

よって求める最大値は $S(\pi/3)=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ である．