1986年(昭和61年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.29記

[1] $x$ が $0\leqq x\leqq 3$ という範囲を動くときの，関数 $f(x)=2x^2-4ax+a+a^2$ の最小値 $m$ が $0$ となるような，定数 $a$ の値をすべて求めよ．

[2] 四点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ を頂点とする四面体 $\mbox{T}$ において，各辺の長さが $\mbox{AB}=x, \quad \mbox{AC}=\mbox{AD}=\mbox{BC}=\mbox{BD}=5, \quad \mbox{CD}=4$
であるとき， $\mbox{T}$ の体積 $V$ を求めよ．またこのような四面体が存在するような $x$ の範囲を求めよ．またこの範囲で $x$ を動かしたときの体積 $V$ の最大値を求めよ．

[3] 三次またはそれ以下の任意の整式 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ に対して，常に $\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx=uf(s)+vf(t)$ が成立つような定数 $u$ ， $v$ ， $s$ ， $t$ を求めよ．ただし $s\lt t$ とする．

[4] 平面 $\mbox{S}$ の一点 $\mbox{A}$ と正数 $\alpha$ （ $\alpha\lt 180$ ）をとる．点の集合としての $\mbox{S}$ から $\mbox{S}$ への写像 $\varphi$ が，次の三つの条件(i)，(ii)，(iii)をみたすとき， $\varphi$ は $\mbox{A}$ を中心とする正の向きの $\alpha^{\circ}$ 回転と呼ばれる．

(i) $\varphi(\mbox{A})=\mbox{A}$ ，

(ii) $\mbox{S}$ の任意の点 $\mbox{P}$ （ $\neq\mbox{A}$ ）に対し， $\mbox{A}\mbox{P}=\mbox{A}\varphi(\mbox{P})$ ， $\angle\mbox{P}\mbox{A}\varphi(\mbox{P})=\alpha^{\circ}$ ，

(iii) 人が三角形 $\mbox{P}\varphi(\mbox{P})\mbox{A}$ の周を一周し，tex:\mbox{P}]， $\varphi(\mbox{P})$ ， $\mbox{A}$ の順序に頂点を通るとき，三角形の内部は常に人の左側にある．

いま $\mbox{S}$ 上に相異なる二点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ をとり， $\mbox{A}$ を中心とする正の向きの $60^{\circ}$ 回転を $f$ ， $\mbox{B}$ を中心とする正の向きの $60^{\circ}$ 回転を $g$ とする．これに対し， $f$ と $g$ の合成写像 $h=g \circ f$ が， $h(\mbox{P})=g(f(\mbox{P}))$ によって定義される．