[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1991年(平成3年)東京大学前期-数学(文科)

2024.01.05記

[1] 関数 $f(x)=x^3-2x^2-3x+4$ の，区間 $-\dfrac{7}{4}\leqq x\leqq 3$ での最大値と最小値を求めよ．

[2] $xyz$ 空間の点 $\mbox{P}(2,0,1)$ と， $yz$ 平面上の曲線 $z=y^2$ を考える．点 $\mbox{Q}$ がこの曲線上を動くとき，直線 $\mbox{PQ}$ が $xy$ 平面と出会う点 $\mbox{R}$ のえがく図形を $F$ とする．
$xy$ 平面上で $F$ を図示せよ．

[3] 二辺の長さが $1$ と $a$ の長方形の頂点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ および対角線の共有点 $\mbox{E}$ を中心として，半径 $r$ の円を $5$ つえがく．どの $2$ つの円の内部も共通部分をもたないようにして半径 $r$ を最大にするとき， $5$ つの円が長方形から切りとる面積を $S(a)$ とする． $a$ の関数 $\dfrac{S(a)}{a}$ のグラフの概形をえがけ．

[4] 正四角錐 $V$ に対し，その底面上に中心をもち，そのすべての辺と接する球がある．底面の一辺の長さを $a$ とするとき，次の量を求めよ．

(1) $V$ の高さ

(2) 球と錐 $V$ との共通部分の体積

ただし，正四角錐とは，正方形を底面とし，その各辺を底辺とする $4$ つの合同な二等辺三角形と底面とで囲まれる図形とする．

1991年(平成3年)東京大学前期-数学(文科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1991年(平成3年)東京大学前期-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1991年(平成3年)東京大学前期-数学(文科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1991年(平成3年)東京大学前期-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR