1992年(平成4年)東京大学後期-数学 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.07記

[1] 定数 $a$ に対して，曲線 $y=\sqrt{x^2-1}+\dfrac{a}{x}$ の $x\geqq 1$ の部分を $C(a)$ とおく．

(1) $C(a)$ が直線 $y=x$ の下部 $y\lt x$ に含まれるような実数 $a$ の最大値 $a_0$ を求めよ．

(2) $0\lt \theta\lt \dfrac{\pi}{2}$ のとき， $C(a_0)$ と3直線 $y=x$ ， $x=1$ ， $x=\dfrac{1}{\cos\theta}$ によって囲まれる図形を $x$ 軸のまわりに回転させてできる立体 $V$ の体積 $V(\theta)$ を求めよ．

(3) $\displaystyle\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-0}V(\theta)$ を求めよ．

[2] (1) 空間内の直線 $L$ を共通の境界線とし，角 $\theta$ で交わる2つの半平面 $H_1$ ， $H_2$ がある． $H_1$ 上に点 $\mbox{A}$ ， $L$ 上に点 $\mbox{B}$ ， $H_2$ 上に点 $\mbox{C}$ がそれぞれ固定されている．ただし， $\mbox{A}$ ， $\mbox{C}$ は $L$ 上にはないものとする．半平面 $H_1$ を， $L$ を軸として， $0\leqq\theta\leqq\pi$ の範囲で回転させる．このとき， $\theta$ が増加すると $\angle\mbox{ABC}$ も増加することを証明せよ．

(2) 空間内の相異なる4点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ について，不等式
$\angle\mbox{ABC}+\angle\mbox{BCD}+\angle\mbox{CDA} +\angle\mbox{DAB}\leqq 2\pi$
が成り立つことを証明せよ．ただし，角の単位はラジアンを用いる．