1992年(平成4年)東京大学後期-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.07記

[3] 多項式の列 $P_0(x)=0$ ， $P_1(x)=1$ ， $P_2(x)=1+x$ ，…， $P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} x^k$ ，…を考える．

(1) 正の整数 $n$ ， $m$ に対して， $P_n(x)$ を $P_m(x)$ で割った余りは $P_0(x)$ ， $P_1(x)$ ，…， $P_{m-1}(x)$ のいずれかであることを証明せよ．

(2) 等式 $P_l(x)P_m(x^2)P_n(x^4)=P_{100}(x)$ が成立するような正の整数の組 $(l,m,n)$ をすべて求めよ．

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$[n]_q:=\dfrac{1-q^n}{1-q}$ と定義すると $P_k(x)=[k]_x$ であり，整数と類似の性質をもつ

$n=m\times l+ r$ のとき
$[n]_q=[m\times l +r]_q$ $=[m\times l]_q\cdot q^r +[r]_q$ $=[m]_q[l]_{q^m}\cdot q^r +[r]_q$
であるから， $n$ を $m$ で割った余りが $r$ のとき， $[n]_q$ を $[m]_q$ で割った余りが $[r]_q$ となる．

また，割り切れるとき，つまり $n=m\times l$ のとき $[n]_q=[m\times l]_q=[m]_q[l]_{q^m}$
となり，同様に
$n=m\times l\times k$ のとき $[n]_q=[m]_q[l]_{q^m}[k]_{q^{ml}}$
となる．

[大人の解答]

(1) $[n]_x$ を $[m]_x$ で割った余りは， $n$ を $m$ で割った余りを $r$ とすると $[r]_x$ である．

(2) $P_l(x) P_m(x^2) P_n(x^4)=[ l ]_x [ m ]_{x^2} [ n]_{x^4}$ ， $P_{100}(x)=[100]_x$ であるから，
$[l]_x[m]_{x^2}[n]_{x^4}=[100]_x$
が成立する．

ここで任意の $q$ について $[1]_q=1$ に注意する
（素因数分解の一意性を使うために1となるものを排除する）．

(i) $n=1$ のとき、 $[l]_x[m]_{x^2}=[100]_x$ である．
(a) $m=1$ のとき、 $[l]_x=[100]_x$ だから $l=100$ ，つまり $(l,m,n)=(100,1,1)$
(b) $m\neq 1$ のとき、 $[m]_{x^2}$ があることから $l=2$ でなければならず， $l=2，m=50$ ，つまり $(l,m,n)=(2,50,1)$

(ii) $n\neq 1$ のとき、
(c) $m=1$ のとき、 $[l]_x[n]_{x^4}=[100]_x$ だから $l=4，n=25$ ，つまり $(l,m,n)=(4,1,25)$
(d) $m\neq1$ のとき、 $[l]_x[m]_{x^2}[n]_{(x^2)^2}=[100]_x$ だから $l=2，m=2，n=25$ ，つまり $(l,m,n)=(2,2,25)$