1992年(平成4年)東京大学後期-理I・総合科目ＩＩ - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1]

図(a)のようなピンホールカメラにおいて，実体 $\rm P$ が撮像面に投影像 ${\rm p}$ として映る． $\rm P$ と $\rm p$ の関係を考えるために，3次元座標系 ${\rm O}-XYZ$ 及び， $Z=-f$ の位置に図(b)のように2次元座標系 ${\rm o}-xy$ を持つ撮像面をおく．以下の問に答えよ．

図(a)
図(b)

(1) 空間の点 ${\rm P}(X,Y,Z)$ が投影される点を ${\rm p}(x,y)$ とするとき， $x,y$ を $X, Y,Z ,f$ で表せ．

(2) 空間の点 ${\rm P}_0(X_0,Y_0,Z_0)$ を通り，方向ベクトルが　 $(m_1, m_2, m_3)$ で，撮像面に平行でない直線 $\rm L$ 上の点 $\rm P$ の投影される点を $p$ とする．点 $\rm P$ が無限遠へ移動する場合に， $\rm p$ が収束する点は，直線 $\rm L$ の消失点と呼ばれる．消失点の座標を求めよ．

(3) 空間の点 ${\rm P}_0(X_0,Y_0,Z_0)$ を通り，法線ベクトルが $(n_1,n_2,n_3)$ で，撮像面に平行でない平面を考える．この平面上の直線の消失点の全体の集合を求めよ．

(4) 空間中の2直線が直交している時，それぞれの消失点が撮像面上の $(a,b)$ ， $(a', b')$ で表わされる時の $a,b,a',b'$ の間の関係式を求めよ．

[2]

質量を持たない長さ $2l$ の糸が水平に張られている．この状態で糸には引張力は加えられていない．糸は弾性体であり，糸に引張力 $T$ を加えたときの長さ当りの糸の伸び量 $\delta$ と $T$ との関係は
$T=k\delta（kは正の定数）$
で与えられる．

図(省略)

(1) 糸の中央点に鉛直変位 $y$ を与えるのに要する鉛直方向の力 $F$ はいくらか．また，そのときに糸にたくわえられるエネルギー $E$ はいくらか．

(2) 糸の中央点に質量 $m$ の質点をとりつける．質点には重力加速度 $g$ の重力が作用している．

(2-1) 重力の下で質点が静止している場合の，質点の鉛直変位 $y_0$ の満たすべき方程式を求めよ．

(2-2) 糸が水平となるよう質点を保持し，瞬時に放すと質点は鉛直方向に振動する．力学的エネルギー保存の法則を利用し，質点の最大速度 $v_m$ を $y_0$ を用いて表わせ．また最大鉛直変位 $y_m$ の満たすべき方程式を求めよ．

(2-3) $y$ は $l$ に比べて十分小さいものとして， $y_m$ の近似値を求めよ．

[3]

容積が十分に大きく，完全に断熱されている水槽内に，最初温度 $T_0^{\circ}\mbox{C}$ の水が体積 $V_0\mbox{m}^3$ だけ入れてある．この水槽の中に $T_1^{\circ}\mbox{C}$ の水を毎秒体積 $q_1 \mbox{m}^3/\mbox{s}$ （一定）の割合で注入し，同時に水槽内の水を毎秒体積 $q_1 \mbox{m}^3/\mbox{s}$ （一定）の割合で流出させる．水槽内の水は十分にかく拌されており，温度は均一 $（T^{\circ}\mbox{C}）$ とする． $T_0\lt T_1$ であるが， $T_0$ から $T_1$ の温度範囲における水の比熱と密度の変化は無視できる．単位時間中に注入した水の持つ熱量と，その単位時間内に流出した水の持つ熱量との差が，その時間における水槽内の水の持つ熱量の変化率に等しいことを利用して，水の注入と流出を同時に開始してから $t$ 秒後の水槽内の水の体積 $V$ と温度 $T$ を時間 $t$ の関数として求めよ．ただし， $q_1\geqq q$ とする．

[4]

図(a)のような上下が常に二つの平面 $h=\dfrac{h}{2}$ ， $z=-\dfrac{h}{2}$ に接し，面の厚さが無視できる半径 $a$ 高さ $h$ の半円筒を図(b)のように組み合わせ，円筒を形成する半円筒 $S_1$ の $z$ 軸に平行な両端部は，それぞれ $xy$ 平面上の原点 ${\rm O}(0,0)$ と点 ${\rm B}(2a,0)$ を通り $z$ 軸に平行な直線に固定されており，半円筒 $S_2$ の両端部も最初同じ位置にある．図(b)の状態から出発して，半円筒 $S_2$ を，その径に相当する部分 $\overline{\rm CD}$ を [texx] 軸に平行に保ち，一方の半円筒の端部が他方の半円筒内面に接した図(c)のような状態で移動させる．ここで $0\leqq\theta\lt \pi$ であり，二つの半円筒 $S_1，S_2$ と二つの平面 $h=\dfrac{h}{2}$ ， $z=-\dfrac{h}{2}$ によって囲まれる容積 $V$ の部分は密封されているものとする．

(1) 容積 $V$ を $\theta$ の関数として求めよ．

(2) 図(b)の状態で，容積の部分に圧力 $p_0$ や温度 $T_0$ の理想気体を密封した．次に密封した理想気体が等温変化をして図(c)の状態になった．このとき密封した気体が半円筒 $S_2$ に及ぼす力のベクトル $F$ の $x$ 方向成分 $F_x$ と $y$ 方向成分 $F_y$ を $\theta$ の関数として求めよ．

（必要ならば，半円筒 $S_2$ に作用する圧力による力の大きさは，弦 $\overline{\rm BC}$ に相当する部分の平面に作用する圧力による力の大きさと同じになることを利用せよ．）

図(b) 図(c)

(3) 図(c)において，半円筒 $S_2$ に作用する $F$ は， $xy$ 平面上にあり，点 $\rm A$ を通る． $xy$ 平面上で原点 $\rm O$ から $F$ の作用線におろした垂線の長さと， $F$ の大きさとの積を $M$ とする． $0\leqq\theta\lt \pi$ の区間で $|M|$ が増加することを示せ．