1966年(昭和41年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.29記

[3] 平面上に点列
${\rm P}_0，{\rm P}_1，{\rm P}_2，\cdots，{\rm P}_n，\cdots，$
があり， ${\rm P}_0$ ， ${\rm P}_1$ の座標はそれぞれ $(0，0)，(1，0)$ である．また，任意の自然数 $n$ に対し，線分 ${\rm P}_n{\rm P}_{n+1}$ の長さは ${\rm P}_{n-1} {\rm P}_n$ の長さの $2$ 倍で，半直線 ${\rm P}_n{\rm P}_{n+1}$ が半直線 ${\rm P}_{n-1} {\rm P}_n$ となす角は120°である． ${\rm P}_{3n}$ の座標を求めよ．

[図]

2022.05.02記

[解答]
複素平面で， ${\rm P}_k$ に対応する複素数を $p_k$ し，
$z=2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)=-1+\sqrt{3}i$
とおくと
$p_1=1$ ， $p_{k+1}-p_k=z^k$
となるので
$p_k=1+z+\cdots+z^{k-1}=\dfrac{z^k-1}{z-1}$
となる．よって
$p_{3n}=\dfrac{z^{3n}-1}{z-1}$ $=\dfrac{8^n-1}{-2+\sqrt{3}i}$ $=-\dfrac{(8^n-1)(2+\sqrt{3}i)}{7}$
となり，
${\rm P}_{3n}\left(-\dfrac{2(8^n-1)}{7},-\dfrac{\sqrt{3}(8^n-1)}{7}\right)$
となる．