1993年(平成5年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.07記

[1] すべての面が合同な四面体 $\mbox{ABCD}$ がある．頂点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ はそれぞれ $x$ ， $y$ ， $z$ 軸上の正の部分にあり，辺の長さは $\mbox{AB}=2l-1$ ， $\mbox{BC}=2l$ ， $\mbox{CA}=2l+1$ （ $l\gt 2$ ）である．四面体 $\mbox{ABCD}$ の体積を $V(l)$ とするとき，次の極限値を求めよ．
$\displaystyle\lim_{l\to2}\dfrac{V(l)}{\sqrt{l-2}}$

[2] 整数からなる数列 $\{a_n\}$ を漸化式
$a_1=1$ ， $a_2=3$ ， $a_{n+2}=3a_{n+1}-7a_n$ （ $n=1$ ， $2$ ，…）
によって定める．

(1) $a_n$ が偶数となることと， $n$ が $3$ の倍数となることは同値であることを示せ．

(2) $a_n$ が $10$ の倍数となるための条件を(1)と同様の形式で求めよ．

[3] $xy$ 平面内に次の二つの集合 $l$ ， $m$ を考える．
$l=\{(-5,y)\,|\,-5\lt y\lt 5\}$ ， $m=\{(5,y)\,|\,-5\lt y\lt 5\}$

$l$ ， $m$ 上にない $2$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ に対し， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ を $l$ ， $m$ と交らない線分又は折れ線で結ぶときの経路の長さの最小値を $d(\mbox{A},\mbox{B})$ で表す．

$2$ 点 $\mbox{P}(-9,-3)$ ， $\mbox{Q}(9,3)$ に対し $d(\mbox{P},\mbox{R})=d(\mbox{Q},\mbox{R})$ となる点 $\mbox{R}$ の軌跡を $xy$ 平面上に図示せよ．

[4] $n$ を $2$ 以上の自然数とし $f(x)=x^n+px+q$ （ $p$ ， $q$ は実数）の形の $n$ 次関数について積分 $I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)^2\,dx$ を考える． $I$ を最小にするような $(p,q)$ が唯一組存在することを示し，そのような $(p,q)$ と $I$ の最小値を求めよ．

[5] $1$ と $0$ を $5$ 個ならべた列 $10110$ をある人が繰返し書き写すとする．ただし，この列を $S$ で表し，これの第1回の写しを $S_1$ で表すとき，第2回目に書き写すときは $S_1$ を書き写す． $S_1$ の写しを $S_2$ とするとき，第3回目には $S_2$ を書き写す．以下同様に続ける．

この人が $0$ を $1$ に写しまちがえる確率は $p$ （ $0\lt p\lt 1$ ）であり， $1$ を $0$ に写しまちがえる確率は $q$ （ $0\lt q\lt 1$ ）であるが，それ以外の写しまちがいはないものとする．第 $n$ 回目の写し $S_n$ が $S$ に一致する確率を $C(n)$ とするとき，極限値 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}C(n)$ を求めよ．