[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1992年(平成4年)東京工業大学前期-数学[4]

2020.09.26記

[4] 変数 $0\leqq x\lt 1$ の関数 $f(x)$ を次のように定義する．
$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 2x & 0\leqq x\lt \dfrac{1}{2} \\ 2x-1 & \dfrac{1}{2}\leqq x\lt 1 \end{array}\right.$

さらに $f_1(x)=f(x)$ とおき， $f_n(x)$ を $f_n(x)=f(f_{n-1}(x))$ （ $n=2,3,4\cdots$ ）と定義する．

(1) $f_3(x)$ のグラフを描き， $f_3(x)$ を式で表せ．

(2) $k$ と $m$ を $1\leqq k\leqq 2^m-1$ を満たす自然数とし $p=\dfrac{k}{2^m}$ とおく．極限値 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{f_1(p)+\cdots+f_n(p)}{n}$ を求めよ．

2020.09.26記
ベルヌーイシフト写像で2進数表示で1桁シフトする．

(2) $f_{m+1}(p)$ 以降は0となるので、 $n\geqq m$ のとき $f_1(p)+\cdots+f_n(p)\leqq m$ となるから求める極限値は 0．