1994年(平成6年)東京大学前期-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.10記

[1] $f(x)=x^4+x^3+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{6}x+\dfrac{1}{24}$ ，
$g(x)=x^5+x^4+\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{1}{6}x^2+\dfrac{1}{24}x+\dfrac{1}{120}$
とする．このとき，以下のことが成り立つことを示せ．

(1) 任意の実数 $x$ に対し， $f(x)\gt 0$ である．

(2) 方程式 $g(x)=0$ はただひとつの実数解 $\alpha$ をもち， $-1\lt \alpha\lt 0$ となる．

本問のテーマ

マクローリン展開

2024.01.11記
(2) は任意の実数 $x$ に対し， $g'(x)\gt 0$ であることを示せば， $g(x)$ は単調増加となり，
$\displaystyle\lim_{t\to-\infty} g(x)=-\infty$ ，
$\displaystyle\lim_{t\to+\infty} g(x)=+\infty$
から方程式 $g(x)=0$ はただひとつの実数解をもつことがわかり， $g(-1)\gt 0$ からその実数解は $-1$ 未満であることがわかる．

[解答]
(1) $f(x)$ $=x^2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2$ $+\dfrac{1}{4}\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{1}{72}$ $\gt 0$

(2) $g'(x)$ $=5x^4+4x^3+\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{24}$ $=5x^2\left(x+\dfrac{2}{5}\right)^2$ $+\dfrac{7}{10}\left(x+\dfrac{5}{21}\right)^2+\dfrac{1}{504}$ $\gt 0$
により $g(t)$ は全実数で単調増加となる．ここで $\displaystyle\lim_{t\to-\infty} g(x)=-\infty$ ， $g(-1)\gt 0$ から方程式 $g(x)=0$ は $x\lt 1$ にただひとつの実数解をもつことがわかる．

となるが，(1) が (2) のヒントとなるようにするには次にように解く．

[解答]
(1) $x=0$ のとき， $f(0)=\dfrac{1}{24}\gt 0$ である．

$x\neq 0$ のとき， $t=\dfrac{1}{x}$ とおくと
$f(x)\gt 0$ と
$F(t)=t^4f\left(\dfrac{1}{t}\right)$ $=\dfrac{t^4}{24}+\dfrac{t^3}{6}+\dfrac{t^2}{2}+t+1\gt 0$
は同値だから， $F(t)\gt 0$ を示せば良い．

$F'''(t)=t+1$ より， $F''(t)=\dfrac{t^2}{2}+t+1\gt F''(-1)=\dfrac{1}{2}$ であるから， $F'(t)=\dfrac{t^3}{6}+\dfrac{t^2}{2}+t+1$ は全実数で単調増加となる．

$\displaystyle\lim_{t\to-\infty} F'(t)=-\infty$ ， $F'(-1)=\dfrac{1}{3}\gt 0$
により， $F'(t)=0$ はただひとつの実数解 $\beta$ をもち， $\beta\lt -1$ となる．

よって $F(t)$ は $t=\beta$ で極小かつ最小となり，最小値は
$F(\beta)=\dfrac{\beta^4}{24}+F'(\beta)=\dfrac{\beta^4}{24}\gt \dfrac{1}{24}$
である．よって $F(t)\gt 0$ が示されたので， $x\neq 0$ のとき， $f(x)\gt 0$ である．

以上から，任意の実数 $x$ に対し， $f(x)\gt 0$ である．

(2) $g(0)\neq 0$ より $t=\dfrac{1}{x}$ とおくと
$g(x)=0$ と
$G(t)=t^5g\left(\dfrac{1}{t}\right)$ $=\dfrac{t^5}{120}+\dfrac{t^4}{24}+\dfrac{t^3}{6}+\dfrac{t^2}{2}+t+1=0$
は同値である．(1) により $G(t)$ は全実数で単調増加となり，
$\displaystyle\lim_{t\to-\infty} G(t)=-\infty$ ， $G(-1)=\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{3}\gt 0$
により， $G(t)=0$ はただひとつの実数解 $\gamma$ をもち， $\gamma\lt -1$ となる．

よって $g(x)=0$ はただひとつの実数解 $\alpha=\dfrac{1}{\gamma}$ をもち， $-1\lt \alpha\lt 0$ となる．

同様にすると，
$f_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}$
は $n$ が偶数のとき $f_n(x)\gt 0$ となり， $n$ が奇数のとき $f_n(x)=0$ ただひとつの実数解をもち，それは $n=1$ は $-1$ 　であり， $n\geqq 3$ のとき $-1$ 未満であることが帰納的に示される．