1991年(平成3年)東京大学前期-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.04記

[3] 定数 $p$ に対して，3次方程式 $x^3-3x-p=0$ の実数解の中で最大のものと最小のものとの積を $f(p)$ とする．ただし，実数解がただひとつのときには，その2乗を $f(p)$ とする．

(1) $p$ がすべての実数を動くとき， $f(p)$ の最小値を求めよ．

(2) $p$ の関数 $f(p)$ のグラフの概形をえがけ．

2024.01.05記

[解答]
$g(x)=x^3-3x$ とおき， $y=g(x)$ と $y=p$ の交点の $x$ 座標について考えれば良いが， $g(x)$ は奇関数であるから， $f(p)$ は偶関数となる．よって $p\geqq 0$ で考える．

(1) (i) $0\leqq p\leqq 2$ のとき：
$g(x)=p$ の3実解を $\alpha\leqq \beta\leqq \gamma$ とおくと解と係数の関係から
$\alpha+\beta+\gamma=0$ ， $(\alpha+\gamma)\beta+\gamma\alpha=-3$ ， $p=\alpha\beta\gamma$
となる．よって
$\beta=-(\alpha+\gamma)$ ，
$f(p)=\alpha\gamma=\beta^2-3$ ，
$p=\beta^3-3\beta$ （これは $\beta$ が $g(x)=p$ の解だから当然成り立つ）

$y=g(x)$ のグラフより $-1\leqq\beta\leqq 0$ だから， $\beta=0$ のとき $f(p)$ は最小値 $-3$ をとる．

(ii) $p\gt 2$ のとき：
$g(x)=p$ の実数解は1つでそれは正の値だから $f(p)\gt 0$ となる．

以上から， $f(p)$ は $\beta=0$ ，つまり $p=0^3-3\cdot 0=0$ のときに最小値 0 をとる．

(2) (i) $0\leqq p\leqq 2$ のとき：
（ $p$ が $0$ から $2$ に増加すると $\beta$ は $0$ から $-1$ に減少するので $f(p)=\beta^2-3$ は $-3$ から $-2$ まで単調に増加することはわかるが，凹凸も調べるために微分する）

$p\gt 0$ のとき $\beta\gt 0$ で
$f'(p)=\dfrac{\dfrac{df}{d\beta}}{\dfrac{dp}{d\beta}}$ $=\dfrac{2\beta}{3(\beta^2-1)}$
は

$\beta$	$-1$	$\cdots$	$0$
$p$	$2$	$\nwarrow$	$0$
$f'(p)$	$+\infty$	$\nwarrow$	$0$
$f(p)$	$-2$	$\nwarrow$	$-3$

と変化するが， $p$ の増加に従って $f'(p)$ も増加するので $q=f(p)$ のグラフは下に凸であることがわかる．

(ii) $p\gt 2$ のとき：
$p=g(x)=x^3-3x$ （ $p\gt 2$ ）の逆関数を $x=h(p)$ （ $x\gt 2$ ）としたときの $q=x^2(=h(p)^2)$ のグラフを描けば良い．

$p=g(x)$ は単調増加だから $x=h(p)$ も単調増加であり， $q$ も単調増加である．

$\dfrac{dq}{dp}=\dfrac{\dfrac{dq}{dx}}{\dfrac{dp}{dx}}$ $=\dfrac{2x}{3(x^2-1)}$
$=\dfrac{2}{3(x-1/x)}$ （(i)と同じ）
は $x-\dfrac{1}{x}$ が $x\gt 0$ で単調増加であることに注意すると $\dfrac{dq}{dp}$ は $x\gt 2$ で単調減少となり，よって $q=x^2$ のグラフは上に凸であることがわかる．

また，十分大きな $p$ に対して $p\approx x^3$ だから $q\approx\sqrt[3]{p^2}$ となるので
$x\to\infty$ で $q\to\infty$ だから

$x$	$2$	$\cdots$	$(+\infty)$
$p$	$2$	$\nearrow$	$(+\infty)$
$dq/dp$	$4/9$	$\swarrow$	$(0)$
$f(p)$	$-2$	$\nwarrow$	$(+\infty)$

となる．

以上と， $f(p)$ が偶関数であることから， $f(p)$ のグラフは次図となる．

(2)(i) 凹凸については $f'(p)$ が $p$ に関して単調増加なので $f''(p)$ を計算しなくても下に凸であることがわかるが，
$f''(p)=\dfrac{\dfrac{d}{d\beta}\left(\dfrac{2\beta}{3(\beta^2-1)}\right)}{\dfrac{dp}{d\beta}}$ $=-\dfrac{2(\beta^2+1)}{9(\beta^2-1)^3}$
が正であることから下に凸であることを示すこともできる(面倒ではあるが)．

結局，パラメータ表示された曲線のグラフを描いていることわかるので，最初からそのように考えれば良い．

[別解]（凹凸は調べない）
(2) (i) $0\leqq p\leqq 2$ のとき：
$p=\beta^3-3\beta$ ， $f(p)=\beta^2-3$ （ $-1\leqq \beta\leqq 0$ ）
により，パラメータ表示された曲線
$(t^3-3t，t^2-3)$ （ $-1\leqq t\leqq 0$ ）
を描けば良い．

(ii) $2\gt p$ のとき：
$p=x^3-3x$ ， $f(p)=x^2$ （ $x\gt2$ ）
により，パラメータ表示された曲線
$(t^3-3t，t^2-3)$ （ $t \gt 2$ ）
を描けば良い．

ここで， $t$ の範囲を考えなければ，(ii)のグラフは(i)のグラフを $f(p)$ 軸方向に $-3$ 平行移動したものであるから，まずは $(t^3-3t，t^2-3)$ （ $t\in\mathbb{R}$ ）の曲線を描くことにする．

$p=A(t)=t^3-3t$ ， $f(p)=B(t)=t^2$ とおくと

$t$	$(-\infty)$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$(+\infty)$
$A'(t)$		$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$p$	$(-\infty)$	$\rightarrow$	$2$	$\leftarrow$	$0$	$\leftarrow$	$-2$	$\rightarrow$	$(+\infty)$
$B'(t)$		$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$f(p)$	$(+\infty)$	$\downarrow$	$1$	$\downarrow$	$0$	$\uparrow$	$1$	$\uparrow$	$(+\infty)$
$(p,f(p))$	$(-\infty,+\infty)$	$\searrow$	$(2,1)$	$\swarrow$	$(0,0)$	$\nwarrow$	$(-2,1)$	$\nearrow$	$(+\infty,+\infty)$