[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1991年(平成3年)東京大学前期-数学(理科)[2]

2024.01.04記

[2] $a$ ， $b$ ， $c$ を正の実数とする． $xyz$ 空間において， $|x|\leqq a$ ， $|y|\leqq b$ ， $z=c$ をみたす点 $(x,y,z)$ からなる板 $R$ を考える．点光源 $\mbox{P}$ が平面 $z=c+1$ 上の楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ ， $z=c+1$ の上を一周するとき，光が板 $R$ にさえぎられて $xy$ 平面上にできる影の通過する部分の図をえがき，その面積を求めよ．

2024.01.05記

[解答]
$\mbox{P}$ が $(p,q,c+1)$ にあるときの板の影は
$|x-cp|\leqq ca$ ， $|y-cq|\leqq cb$ ， $z=0$
であり， $(cp,cq,0)$ は $xy$ 平面上の楕円 $\dfrac{x^2}{(ca)^2}+\dfrac{y^2}{(cb)^2}=1$ 上を動くので，これを図示すれば良い．

求める面積は楕円の面積 $\pi abc^2$ と大きな長方形の四つ角を切り落した $ab(4c+2)^2-4abc^2$ の和 $ab\{(12+\pi)c^2+16c+4\}$ となる．