1995年(平成7年)東京大学前期-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.13記

[2] $f(x)=1-\sin x$ に対し， $g(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} (x-t)f(t)\,dt$ とおく．このとき，任意の実数 $x$ ， $y$ について
$g(x+y)+g(x-y) \geqq 2g(x)$
が成り立つことを示せ．

本問のテーマ

Jensen の不等式

2024.01.10記
$g(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} (x-t)f(t)\,dt$ のとき， $f(x)=g''(x)$ である．

2024.01.13記
一般に
$g(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{(x-t)^n}{n\,!}f(t)\,dt$ とおき， $f(x)$ の原始関数を $f_1(x)$ ， $f_1(x)$ の原始関数を $f_2(x)$ ，… とすると
$g(x)=\left[-\dfrac{(x-t)^{n}}{n\,!}f_1(t)\right]_0^x$ $+\displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}f_1(t)\,dt$
$=\dfrac{x^{n}}{n\,!}f_1(0)$ $+\displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}f_1(t)\,dt$
$=\dfrac{x^{n}}{n\,!}f_1(0)$ $+\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}f_2(0)$ $+\displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{(x-t)^{n-2}}{(n-2)!}f_2(t)\,dt$
のように続けていくと，
$g(x)=\dfrac{x^{n}}{n\,!}f_1(0)$ $+\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}f_2(0)+\cdots+xf_{n}(0)$ $+\displaystyle\int_{0}^{x} f_{n}(t)\,dt$
$=\dfrac{x^{n}}{n\,!}f_1(0)$ $+\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}f_2(0)+\cdots+xf_{n}(0)$ $+f_{n+1}(x)-f_{n+1}(0)$
が成立するので，両辺を $n+1$ 回微分すると
$g^{(n+1)}(x)=f(x)$
が成立する．

[解答]
$g(x)=x \displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt$ $-\displaystyle\int_{0}^{x} tf(t)\,dt$
の両辺を微分して
$g'(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt+xf(x)-xf(x)$ $=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt$
となるので，さらに微分して
$g''(x)=f(x)=1-\sin x$
となり，任意の実数 $x$ について $g''(x)\geqq 0$ である．
（つづく）

この後，「下に凸の定義である割線が曲線の上にある」ことを用いて

$g(x)$ は全ての実数において下に凸であるから $Y=g(X)$ 上の任意の2点 $(x-y,g(x-y))$ ， $(x+y,g(x+y))$ の中点 $\left(x,\dfrac{g(x-y)+g(x+y)}{2}\right)$ は $Y\geqq g(X)$ の領域にあるので，
$\dfrac{g(x+y)+g(x-y)}{2} \geqq g(x)$ が成立する．

と言ってしまって良いように思うが，人によってはこれは「下に凸ならば割線が曲線の上にある」（これが下に凸の定義なのに…）を示す問題だから Jensen の不等式を使ってはいけないというかも知れない（そのような判断をさせてしまう問題が悪い）．

そこで「任意の実数 $x$ に対して $g''(x)\geqq 0$ のとき，任意の実数 $x$ ， $y$ について　 $g(x+y)+g(x-y) \geqq 2g(x)$ が成り立つ」ことを示しておくことにする．

（つづき）
任意の固定された $T$ に対して　 $G(X)=g(X)-\{g'(T)(X-T)+g(T)\}$ 　とおくと $G(T)=0$ であり， $G'(X)=g'(X)-g'(T)$ により $G'(T)=0$ であり， $G"(X)=g''(X)\geqq 0$ が成立する．
よって
$G'(X)\leqq 0$ （ $X\leqq T$ ）， $G'(X)\geqq 0$ （ $X\geqq T$ ）
となり， $G(X)\geqq G(T)=0$ が成立するので，
$g(X)\geqq g'(T)(X-T)+g(T)$
が成立する．ここで $(X,T)=(x\pm y,x)$ とした2式
$g(x+y)\geqq g'(x)(y)+g(x)$ ， $g(x-y)\geqq g'(x)(-y)+g(x)$
を加えると $g(x+y)+g(x-y) \geqq 2g(x)$ が成立する

もしくは直接

（つづき）
$h(y)=g(x+y)+g(x-y)- 2g(x)$ を $y$ の関数と見ると $h'(y)=g'(x+y)-g'(x-y)$ であり，
$h''(y)=g''(x+y)+g''(x-y)\geqq 0$
が成立する．ここで $h'(0)=0$ であるから
$h'(y)\leqq 0$ （ $y\leqq 0$ ），
$h'(y)\geqq 0$ （ $y\geqq 0$ ）
となり， $h(y)\geqq h(0)=0$
が成立する．よって $g(x+y)+g(x-y) \geqq 2g(x)$ が成立する

とすれば良いだろう．もちろん， $g''(x)=1-\sin x$ から

（つづき）
$g''(x)=1-\sin x$ ， $g'(0)=0$ ， $g(0)=0$ から
$g(x)=\dfrac{x^2}{2}-x+\sin x$
である．よって
$g(x+y)+g(x-y)-2g(x)=y^2+2(1-\cos y)\sin x$
$\geqq y^2+2(1-\cos y)(-1)$ $=y^2+2\cos y-2$
が成立する．
$H(y)=y^2+2\cos y-2$ は偶関数であるから， $y\geqq 0$ で $H(y)\geqq 0$ を示せば良いが
$H'(y)=2(y-\sin y)\geqq 0$ ， $H(0)=0$
により $y\geqq 0$ で $H(y)\geqq 0$ が成立し，よって $g(x+y)+g(x-y) \geqq 2g(x)$ が成立する