1991年(平成3年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.04記

[1] 平面上に正四面体が置いてある．平面と接している面の $3$ 辺のひとつを任意に選び，これを軸として正四面体をたおす． $n$ 回の操作の後に，最初に平面と接していた面が再び平面と接する確率を求めよ．

[2] $a$ ， $b$ ， $c$ を正の実数とする． $xyz$ 空間において， $|x|\leqq a$ ， $|y|\leqq b$ ， $z=c$ をみたす点 $(x,y,z)$ からなる板 $R$ を考える．点光源 $\mbox{P}$ が平面 $z=c+1$ 上の楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ ， $z=c+1$ の上を一周するとき，光が板 $R$ にさえぎられて $xy$ 平面上にできる影の通過する部分の図をえがき，その面積を求めよ．

[3] 定数 $p$ に対して，3次方程式 $x^3-3x-p=0$ の実数解の中で最大のものと最小のものとの積を $f(p)$ とする．ただし，実数解がただひとつのときには，その2乗を $f(p)$ とする．

(1) $p$ がすべての実数を動くとき， $f(p)$ の最小値を求めよ．

(2) $p$ の関数 $f(p)$ のグラフの概形をえがけ．

[4] (1) 自然数 $n=1$ ， $2$ ， $3$ ，… に対して，ある多項式 $p_n(x)$ ， $q_n(x)$ が存在して，
$\sin n\theta=p_n(\tan\theta)\cos^n\theta$ ， $\cos n\theta=q_n(\tan\theta)\cos^n\theta$
と書けることを示せ．

(2) このとき， $n\gt 1$ ならば次の等式が成立することを証明せよ．
$p_n'(x)=nq_{n-1}(x), \quad q_n'(x)=-np_{n-1}(x)$

[5] $xy$ 平面上， $x$ 座標， $y$ 座標がともに整数であるような点 $(m,n)$ を格子点とよぶ．
各格子点を中心として半径 $r$ の円がえがかれており，傾き $\dfrac{2}{5}$ の任意の直線はこれらの円のどれかと共有点をもつという．このような性質をもつ実数 $r$ の最小値を求めよ．

[6] $f(x)$ は $x\gt 0$ で定義された連続な関数で， $0\lt x_1\lt x_2$ ならば，つねに $f(x_1)\gt f(x_2)\gt 0$ であるものとし， $S(x)=\displaystyle\int_{x}^{2x} f(t)\,dt$ とおく．このとき， $S(1)=1$ であり，さらに任意の $a\gt 0$ に対して，原点と点 $(a,f(a))$ ，原点と点 $(2a,f(2a))$ を結ぶ $2$ 直線と曲線 $y=f(x)$ とで囲まれる部分の面積は $3S(a)$ に等しいものとする．