1995年(平成7年)東京大学前期-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.13記

[5] サイコロを $n$ 回投げて， $xy$ 平面上の点 $\mbox{P}_0$ ， $\mbox{P}_1$ ，…， $\mbox{P}_n$ を次の規則(a)，(b)によって定める．

(a) $\mbox{P}_0=(0,0)$

(b) $1\leqq k\leqq n$ のとき， $k$ 回目に出た目の数が $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ のときには， $\mbox{P}_{k-1}$ をそれぞれ東，北，西，南に $\left( \dfrac{1}{2} \right)^k$ だけ動かした点を $\mbox{P}_k$ とする．
また $k$ 回目に出た目の数が $5$ ， $6$ のときには $\mbox{P}_k=\mbox{P}_{k-1}$ とする．ただし $y$ 軸の正の向きを北と定める．
このとき以下の問いに答えよ．

(1) $\mbox{P}_n$ が $x$ 軸上にあれば， $\mbox{P}_0$ ， $\mbox{P}_1$ ，…， $\mbox{P}_{n-1}$ もすべて $x$ 軸上にあることを示せ．

(2) $\mbox{P}_n$ が第1象限 $\{ (x,y)\,|\,x\gt 0,y\gt 0 \}$ にある確率を $n$ で示せ．

2024.01.14記

[解答]
(1) 一番始めに南北に移動したのが $m$ 回目としたとき，残り全てを逆方向に移動したとしても
$\dfrac{1}{2^m}-\left(\dfrac{1}{2^{m+1}}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}\right)=\dfrac{1}{2^n}$
までしか戻れない，つまり一旦 $x$ 軸から離れると $x$ 軸上には戻れない．

よって $\mbox{P}_n$ が $x$ 軸上にあれば， $\mbox{P}_0$ ， $\mbox{P}_1$ ，…， $\mbox{P}_{n-1}$ もすべて $x$ 軸上にある．

(2) $\mbox{P}_n$ が原点にある確率は $\dfrac{1}{3^n}$ である．

$\mbox{P}_n$ が $x$ 軸にある確率は $\dfrac{2^n}{3^n}$ であり， $\mbox{P}_n$ が $y$ 軸にある確率も $\dfrac{2^n}{3^n}$ である．

よって， $\mbox{P}_n$ が第1象限から第4象限までのいずれかにある確率は $1-2\cdot\dfrac{2^n}{3^n}+\dfrac{1}{3^n}$ $\dfrac{3^n-2^{n+1}+1}{3^n}$ となり，よって対称性から $\mbox{P}_n$ が第1象限にある確率は $\dfrac{3^n-2^{n+1}+1}{4\cdot 3^n}$ となる．

(1) から「南北では先に北に，東西では先に東に移動すれば良い」つまり「 $1$ ， $3$ の両方が少なくとも1回は出て， $1$ の方が $3$ よりも先に出て， $2$ の方が $4$ よりも先に出れば良い」ことがわかるが，この確率を直接計算するのは面倒である．