1992年(平成4年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.07記

[1] $a$ は $1$ より大きい定数とし， $xy$ 平面上の点 $(a,0)$ を $\mbox{A}$ ，点 $(a,\log a)$ を $\mbox{B}$ ，曲線 $y=\log x$ と $x$ 軸の交点を $\mbox{C}$ とする．さらに $x$ 軸，線分 $\mbox{B}\mbox{A}$ および曲線 $y=\log x$ で囲まれた部分の面積を $S_1$ とする．

(1) $1\leqq b\leqq a$ となる $b$ に対し点 $(b,\log b)$ を $\mbox{D}$ とする．四辺形 $\mbox{ABCD}$ の面積が $S_1$ にもっとも近くなるような $b$ の値と，そのときの四辺形 $\mbox{ABCD}$ の面積 $S_2$ を求めよ．

(2) $a\to\infty$ のときの $\dfrac{S_2}{S_1}$ の極限値を求めよ．

[2] $xy$ 平面において， $x$ 座標， $y$ 座標ともに整数であるような点を格子点と呼ぶ．格子点を頂点に持つ三角形 $\mbox{ABC}$ を考える．

(1) 辺 $\mbox{AB}$ ， $\mbox{AC}$ それぞれの上に両端を除いて奇数個の格子点があるとすると，辺 $\mbox{BC}$ 上にも両端を除いて奇数個の格子点があることを示せ．

(2) 辺 $\mbox{AB}$ ， $\mbox{AC}$ 上に両端を除いて丁度 $3$ 点ずつ格子点が存在するとすると，三角形 $\mbox{ABC}$ の面積は $8$ で割り切れる整数であることを示せ．

[3] $a$ ， $b$ を正の実数とする．座標空間の4点 $\mbox{P}(0,0,0)$ ， $\mbox{Q}(a,0,0)$ ， $\mbox{R}(0,1,0)$ ， $\mbox{S}(0,1,b)$ が半径 $1$ の同一球面上にあるとき， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ を頂点とする四面体に内接する球の半径を $r$ とすれば，次の二つの不等式が成り立つことを示せ．
${ \left( \dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b} \right) }^2 \geqq\dfrac{20}{3}, \quad \dfrac{1}{r} \geqq 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}+2\sqrt{\dfrac{5}{3}}$

[4] $xyz$ 空間において， $x$ 軸の平行な柱面
$A= \{ (x,y,z)\,|\, y^2+z^2=1$ ， $x$ ， $y$ ， $z$ は実数 $\}$
から， $y$ 軸と平行な柱面
$B = \{ (x,y,z)\,|\, x^2-\sqrt{3}xz+z^2=\dfrac{1}{4}$ ， $x$ ， $y$ ， $z$ は実数 $\}$
により囲まれる部分を切り抜いた残りの図形を $C$ とする．図形 $C$ の展開図をえがけ．ただし点 $(0,1,0)$ を通り $x$ 軸と平行な直線に沿って $C$ を切り開くものとする．

[5] $xy$ 平面において，曲線 $y=\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{1}{2x}$ 上の点， $\left(1,\dfrac{2}{3}\right)$ を出発し，この曲線上を進む点 $\mbox{P}$ がある．出発してから $t$ 秒後の $\mbox{P}$ の速度 $\vec{v}$ の大きさは $\dfrac{t}{2}$ に等しく， $\vec{v}$ の $x$ 成分はつねに正または $0$ であるとする．

(1) 出発してから $t$ 秒後の $\mbox{P}$ の位置を $(x,y)$ として， $x$ と $t$ の間の関係式を求めよ．

(2) $\vec{v}$ がベクトル $(8,15)$ と平行になるのは出発してから何秒後か．

[6] $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ の二人がじゃんけんをして，グーで勝てば $3$ 歩，チョキで勝てば $5$ 歩，パーで勝てば $6$ 歩進む遊びをしている． $1$ 回のじゃんけんで $\mbox{A}$ の進む歩数から $\mbox{B}$ の進む歩数を引いた値の期待値を $E$ とする．