2022年(令和4年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.25記

[1] 次の関数 $f(x)$ を考える。
$f(x)=(\cos x)\log(\cos x)$ $-\cos x$ $+\displaystyle\int_{0}^{x} (\cos t)\log(\cos t) dt$ $\left(0\leqq x\lt\dfrac{\pi}{2}\right)$

(1) $f(x)$ は区間 $0\leqq x\lt\dfrac{\pi}{2}$ において最小値を持つことを示せ。

(2) $f(x)$ の区間 $0\leqq x\lt\dfrac{\pi}{2}$ において最小値を求めよ。

[2] 数列 $\{a_n\}$ を次のように定める。
$a_1=1$ ， $a_{n+1}=a_n^2+1$ （ $n=1,2,3,\cdots\cdots$ ）

(1) 正の整数 $n$ が3の倍数のとき， $a_n$ は 5 の倍数となることを示せ。

(2) $k,n$ を正の整数とする。 $a_n$ が $a_k$ の倍数となるための必要十分条件を $k,n$ を用いて表せ。

(3) $a_{2022}$ と $(a_{8901})^2$ の最大公約数を求めよ。

[3] $\rm O$ を原点とする座標平面上で考える。座標平面上の2 点 ${\rm S}(x_1,y_1)$ ， ${\rm T}(x_2,y_2)$ に対し，点 $\rm S$ が点 $\rm T$ から十分離れているとは，
$|x_1-x_2|\geqq 1$ または $|y_1-y_2|\geqq 1$
が成り立つことと定義する。

不等式 $0\leqq x\leqq 3$ ， $0\leqq y\leqq 3$ が表す正方形の領域を $D$ とし，その2つの頂点 ${\rm A}(3,0)$ ， ${\rm B}(3,3)$ を考える。さらに，次の条件(i)，(ii)をともに満たす点　 $\rm P$ をとる。

(i) 点 $\rm P$ は領域 $D$ の点であり，かつ，放物線 $y=x^2$ 上にある。

(ii) 点 $\rm P$ は， 3点 $\rm O,A,B$ のいずれからも十分離れている。

点 $\rm P$ の $x$ 座標を $a$ とする。

(1) $a$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) 次の条件(iii),(iv)をともに満たす点 $\rm Q$ が存在しうる範囲の面積 $f(a)$ を求めよ。

(iii) 点 $\rm Q$ は領域 $D$ の点である。

(iv) 点 $\rm Q$ は， 4点 $\rm O,A,B,P$ のいずれからも十分離れている。

(3) $a$ は (1) で求めた範囲を動くとする。(2) の $f(a)$ を最小にする $a$ の値を求めよ。

[4] 座標平面上の曲線
$C:y=x^3-x$ を考える。

(1) 座標平面上のすべての点 $\rm P$ が次の条件(i)を満たすことを示せ。

(i) 点 $\rm P$ を通る直線 $\ell$ で，曲線 $C$ と相異なる3点で交わるものが存在する。

(2) 次の条件(ii)を満たす点 $\rm P$ のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。

(ii) 点 $\rm P$ を通る直線 $\ell$ で，曲線 $C$ と相異なる3点で交わり，かつ，直線 $l$ と曲線 $C$ で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるものが存在する。

[5] 座標空間内の点 ${\rm A}(0,0,2)$ と点 ${\rm B}(1,0,1)$ を結ぶ線分 $\rm AB$ を $z$ 軸のまわりに1回転させて得られる曲面を $S$ とする。 $S$ 上の点 $\rm P$ と $xy$ 平面上の点 $\rm Q$ が $\rm PQ=2$ を満たしながら動くとき，線分 $\rm PQ$ の中点 $\rm M$ が通過しうる範囲を $K$ とする。 $K$ の体積を求めよ。

[6] $\rm O$ を原点とする座標平面上で考える。 $0$ 以上の整数 $k$ に対して，ベクトル $\vec{v_k}$ を
$\vec{v_k}=\left(\cos\dfrac{2k\pi}{3},\sin\dfrac{2k\pi}{3}\right)$
と定める。投げたとき表と裏がどちらも $\dfrac{1}{2}$ の確率で出るコインを $N$ 回投げて，座標平面上に点 ${\rm X}_{0}$ ， ${\rm X}_{1}$ ， ${\rm X}_{2}$ ，……， ${\rm X}_{N}$ を以下の規則 (i),(ii) に従って定める。

(i) ${\rm X}_{0}$ は ${\rm O}$ にある。

(ii) $n$ を $1$ 以上 $N$ 以下の整数とする。 ${\rm X}_{n-1}$ が定まったとし， ${\rm X}_{n}$ を次のように定める。

・ $n$ 回目のコイン投げで表が出た場合，
$\vec{{\rm OX}_n}=\vec{{\rm OX}_{n-1}}+\vec{v_k}$
により ${\rm X}_n$ を定める。ただし， $k$ は1回目から $n$ 回目までのコイン投げで裏が出た回数とする。

・ $n$ 回目のコイン投げで裏が出た場合， ${\rm X}_n$ を ${\rm X}_{n-1}$ と定める。

(1) $N = 8$ とする。 ${\rm X}_8$ が $\rm O$ にある確率を求めよ。

(2) $N = 200$ とする。 ${\rm X}_{200}$ が $\rm O$ にあり，かつ，合計200回のコイン投げで表がちょうど $r$ 回出る確率を $p_r$ とおく。ただし $0\leqq r\leqq 200$ である。 $p_r$ を求めよ。また $p_r$ が最大となる $r$ の値を求めよ。

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