2021年(令和3年)早稲田大学理工学部-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.05記

[3] $r$ を実数とする。次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ ， $\{b_n\}$ ， $\{c_n\}$ を考える
$a_1=r$ ， $a_{n+1}=\dfrac{[a_n]}{4}+\dfrac{a_n}{4}+\dfrac{5}{6}$ （ $n=1,2,3,\cdots$ ）
$b_1=r$ ， $b_{n+1}=\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{7}{12}$ （ $n=1,2,3,\cdots$ ）
$c_1=r$ ， $c_{n+1}=\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{5}{6}$ （ $n=1,2,3,\cdots$ ）
ただし， $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数とする。以下の問いに答えよ。

(1) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n$ と $\displaystyle\lim_{n\to\infty} c_n$ を求めよ。

(2) $b_n\leqq a_n\leqq c_n$ （ $n=1,2,3,\cdots$ ）を示せ。

(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$ を求めよ。

2022.03.05記
$a_n$ が $\alpha$ に収束するならば，十分大きな $n$ に対して $a_n$ は $\alpha$ に十分近いので，
$\alpha$ が整数でなければ， $[a_n]=[\alpha]$ が成立することになる。という考え方をするので， $\varepsilon$ - $N$ 論法をやったことがある人は有利かも。

[解答]

(1) $b_{n+1}-\dfrac{7}{6}=\dfrac{1}{2}\left(b_{n}-\dfrac{7}{6}\right)=\dfrac{1}{2^{n-1}}\left(r-\dfrac{7}{6}\right)$
により， $b_n\to\dfrac{7}{6}$ （ $n\to\infty$ ）である．

$c_{n+1}-\dfrac{5}{3}=\dfrac{1}{2}\left(c_{n}-\dfrac{5}{3}\right)=\dfrac{1}{2^{n-1}}\left(r-\dfrac{5}{3}\right)$
により， $b_n\to\dfrac{5}{3}$ （ $n\to\infty$ ）である．

(2) $a_k-1\lt[a_k]\leqq a_k$ が任意の自然数 $k$ について成立することに注意する。

$b_n\leqq a_n\leqq c_n$ （ $n=1,2,3,\cdots$ ）を数学的帰納法で示す。

$n=1$ のとき， $b_1=a_1=c_1$ より成立する。

$n=k$ のとき， $b_k\leqq a_k\leqq c_k$ を仮定すると，

$a_{k+1}\leqq \dfrac{a_k}{4}+\dfrac{a_k}{4}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{a_k}{2}+\dfrac{5}{6}\leqq\dfrac{c_k}{2}+\dfrac{5}{6}=c_{k+1}$
および
$a_{k+1}\gt \dfrac{a_k-1}{4}+\dfrac{a_k}{4}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{a_k}{2}+\dfrac{7}{12}\leqq\dfrac{b_k}{2}+\dfrac{7}{12}=b_{k+1}$
により， $n=k+1$ のときも成立する。

よって帰納的に任意の自然数 $n$ について題意は成立する。

(3) (2) により， $\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n\leqq \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$ $\leqq \displaystyle\lim_{n\to\infty} c_n$ であるから，(1) より十分大きな自然数 $N$ が存在して $\dfrac{7}{6}\leqq a_n\leqq\dfrac{5}{3}$ （ $n\gt N$ ）が成立する．このとき $[a_n]=1$ であるから，
$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{4}+\dfrac{13}{12}$ （ $n\gt N$ ）
が成立する。よって
$a_{n+1}-\dfrac{13}{9}=\dfrac{1}{4}\left(a_{n}-\dfrac{13}{9}\right)=\dfrac{1}{4^{n-N}}\left(a_N-\dfrac{13}{9}\right)$
となり， $a_n\to\dfrac{13}{9}$ （ $n\to\infty$ ）である．

$\varepsilon$ - $N$ 論法の説明をした後のレポート問題として良さそうだ。