1998年(平成10年)東京大学前期-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.07記

[5] $\theta$ は $0\leqq\theta\lt 2\pi$ をみたす実数とする． $xy$ 平面にベクトル $\overrightarrow{a}=(\cos\theta,\sin\theta)$ ， $\overrightarrow{b}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)$ をとり，点 $\mbox{P}_n$ ， $\mbox{Q}_n$ ， $n=1$ ， $2$ ，… を
$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{\mbox{OP}_1}=(1,0) \\ \overrightarrow{\mbox{OQ}_n} =\overrightarrow{\mbox{OP}_n}-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{\mbox{OP}_n})\overrightarrow{a} \\ \overrightarrow{\mbox{OP}_{n+1}}=4\{ \overrightarrow{\mbox{OQ}_n}-(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{\mbox{OQ}_n})\overrightarrow{b} \}\end{array}\right.$
で定める．ただし， $\mbox{O}$ は原点で， $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{\mbox{OP}_n}$ および $\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{\mbox{OQ}_n}$ はベクトルの内積を表す． $\overrightarrow{\mbox{OP}_n}=(x_n,y_n)$ とおく．数列 $\{x_n\}$ ， $\{y_n\}$ がともに収束する $\theta$ の範囲を求めよ．
さらに，このような $\theta$ に対して，極限値 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n$ ， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}y_n$ を求めよ．

2021.01.12記
正射影．

[解答]
$l:(\cos\theta)x+(\sin\theta)y=0$ ， $m:\sqrt{3}x+y=0$ とする．
また， $l,m$ のなす角を
$\varphi=\min\left\{\Bigl|\theta-\dfrac{\pi}{6}\Bigr|，\Bigl|\theta-\dfrac{5\pi}{6}\Bigr|\right\}$
とする．

${\rm Q}_n$ は ${\rm P}_n$ を $l$ に正射影した点，
${\rm P}_{n+1}$ は ${\rm Q}_n$ を $m$ に正射影して原点中心に4倍拡大した点となる．

ここで， $n\geqq 2$ のとき ${\rm P}_n$ を $l$ に正射影したときに長さが $\cos\varphi$ 倍になるので， ${\rm P}_{n+1}$ は ${\rm P}_{n}$ を原点中心に $4\cos^2\varphi$ 倍拡大した点となることに注意すると， ${\rm P}_n$ が収束する必要十分条件は

(i) $\cos\varphi \leqq\dfrac{1}{2}$ のとき
(ii) ${\rm Q}_1$ が原点になるとき（ ${\rm P}_2$ も原点）

である．

(i) より $\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{5\pi}{6}，\dfrac{3\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{11\pi}{6}$
(ii) より $\theta=0，\pi$

だから，収束するための $\theta$ の範囲は

$\theta=0，\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{5\pi}{6}，\theta=\pi，\dfrac{3\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{11\pi}{6}$

である． ${\rm P}_n=(x_n,y_n)$ の極限は

$\theta=\dfrac{\pi}{2}，\dfrac{3\pi}{2}$ のとき ${\rm Q}_1(1,0)$ により ${\rm P}_2=(1,-\sqrt{3})$ ，

$\theta=\dfrac{5\pi}{6}，\dfrac{11\pi}{6}$ のとき ${\rm Q}_1\Bigl(\dfrac{1}{4},\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Bigr)$ により ${\rm P}_2=\Bigl(-\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)$
（ ${\rm Q}_1\mapsto{\rm P}_2$ は $y$ 軸折り返し2倍拡大），

それ以外 $(0,0)$

となる．