1998年(平成10年)東京大学前期-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.07記

[6] $xyz$ 空間に5点 $\mbox{A}(1,1,0)$ ， $\mbox{B}(-1,1,0)$ ， $\mbox{C}(-1,-1,0)$ ， $\mbox{D}(1,-1,0)$ ， $\mbox{P}(0,0,3)$ をとる．

四角錐 $\mbox{PABCD}$ の $x^2+y^2\geqq 1$ を満たす部分の体積を求めよ．

本問のテーマ

シュタインメッツの立体(Steinmetz solid)

2020.09.26記
この問題の隠された秘密は，四角錐の高さを $\dfrac{1}{3}$ 倍にしたものを6個用意するということなのだが，これに気付いている解説はまだ見たことがない．

答は $4\sqrt{2}+4-3\pi$ になる．

2024.02.08記

[解答]
求める立体の $x\geqq y\geqq 0$ の部分の体積を求め，それを8倍すれば良い．その部分の立体の $x=t$ （ $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqq t\leqq 1$ ）での切り口は
$\sqrt{1-t^2}\leqq y\leqq t$ ， $0\leqq z\leqq 3(1-t)$
で表される長方形であるから，その面積は
$S(t)=3(t-\sqrt{1-t^2})(1-t)$
となる．よって求める体積 $V$ は
$V=24\displaystyle\int_{1/\sqrt{2}}^1 (t-\sqrt{1-t^2})(1-t) dt$
$=24\left[\dfrac{t^2}{2}-\dfrac{t^3}{3}-\dfrac{1}{3}(1-t^2)^{3/2}\right]_{1/\sqrt{2}}^1$
$-24\displaystyle\int_{1/\sqrt{2}}^1 \sqrt{1-t^2} dt$
$=(4\sqrt{2}-2)-(3\pi-6)$ $=4\sqrt{2}+4-3\pi$ となる．

ここで
$\displaystyle\int_{1/\sqrt{2}}^1 \sqrt{1-t^2} dt$ $=\dfrac{1}{8}\pi-\dfrac{1}{4}$
の計算は中心角45度の扇型から直角2等辺三角形の面積を引いた．

2024.04.22記
この問題の隠された秘密は，…と2020.09.26に書いた種明かしをそろそろしておこう．

[大人の解答]
四角錐の高さを $\dfrac{1}{3}$ 倍にしたものを6個用意してくっつけると，
1辺2の立方体の3方向から円柱を刳り貫いた体積となる．
2円柱の交わりの体積は有名問題で $\dfrac{16}{3}$ であり，求める体積は
3円柱の交わりの体積は有名問題で $16-8\sqrt{2}$ であるから，包除原理により，
刳り貫かれた部分である半径1，高さ2の円柱3本を互いに直交させて交わらせた立体の体積は
$3\cdot 2\pi-3\cdot\dfrac{16}{3}+(16-8\sqrt{2})$ $=6\pi-8\sqrt{2}$
となり，よって1辺2の立方体の3方向から円柱を刳り貫いた体積は
$8-6\pi+8\sqrt{2}$
となる．求める体積はこの体積の $\dfrac{1}{6}$ 倍の3倍であるから，この体積の半分となり
$4-3\pi+4\sqrt{2}$
となる．

この記事も面白い

mathlog.info

言われて見れば，そりゃそうだ．この記事の解法では，
1992年(平成4年)東京大学前期-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
でも述べた「円柱を(軸に垂直でない)平面で切った切り口にサインカーブが登場すること」を意識すれば
$\int(3-3\cos\theta)d\theta$
の部分のイメージがし易くなる．この記事を参考に，2円柱の交わり，3円柱の交わりを計算してみたのがこちら↓

備忘録：円錐・円柱・平面のみで囲まれた立体の体積を一瞬で求める方法 - 球面倶楽部零八式 mark II