2000年(平成12年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.12記

[1] 図のように底面の半径 $1$ ，上面の半径 $1-x$ ，高さ $4x$ の直円すい台 $A$ と，底面の半径 $1-\dfrac{x}{2}$ ，上面の半径 $\dfrac{1}{2}$ ，高さ $1-x$ の直円すい台 $B$ がある．ただし， $0\leqq x\leqq 1$ である． $A$ と $B$ の体積の和を $V(x)$ とするとき， $V(x)$ の最大値を求めよ．

[2] $xy$ 平面内の領域 $-1\leqq x\leqq 1$ ， $-1\leqq y\leqq 1$ において
$1-ax-by-axy$
の最小値が正となるような定数 $a$ ， $b$ を座標とする点 $(a,b)$ の範囲を図示せよ．

[3] 正四面体の各頂点を $\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_2$ ， $\mbox{A}_3$ ， $\mbox{A}_4$ とする．ある頂点にいる動点 $x$ は，同じ頂点にとどまることなく， $1$ 秒ごとに他の $3$ つの頂点に同じ確率で移動する． $x$ が $\mbox{A}_i$ に $n$ 秒後に存在する確率を $P_i(n)$ （ $n=0$ ， $1$ ， $2$ ，…）で表す．
$P_1(0)=\dfrac{1}{4}$ ， $P_2(0)=\dfrac{1}{2}$ ， $P_3(0)=\dfrac{1}{8}$ ， $P_4(0)=\dfrac{1}{8}$ とするとき， $P_1(n)$ と $P_2(n)$ （ $n=0$ ， $1$ ， $2$ ，…）を求めよ．

[4] 複素数平面上の原点以外の相異なる $2$ 点 $\mbox{P}(\alpha)$ ， $\mbox{Q}(\beta)$ を考える． $\mbox{P}(\alpha)$ ， $\mbox{Q}(\beta)$ を通る直線を $l$ ，原点から $l$ に引いた垂線と $l$ の交点を $\mbox{R}(w)$ とする．ただし，複素数 $\gamma$ が表す点 $\mbox{C}$ を $\mbox{C}(\gamma)$ とかく．このとき，

「 $w=\alpha\beta$ であるための必要十分条件は， $\mbox{P}(\alpha)$ ， $\mbox{Q}(\beta)$ が中心 $\mbox{A}\left(\dfrac{1}{2}\right)$ ，半径 $\dfrac{1}{2}$ の円周上にあることである．」
を示せ．

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